Конкурсные задачи по математике (Вступительные экзамены 1998 г.). Ишанов С.А - 5 стр.

   4. Три бригады работали с постоянной производительностью, прокла-
дывая рельсовые пути. Первая и третья бригады, работая совместно, про-
кладывали 15 км пути в месяц. Три бригады вместе укладывают в месяц
путей в два раза больше, чем первая и вторая бригады при их совместной
работе. Найти, сколько километров в месяц укладывает третья бригада, ес-
ли известно, что вторая бригада совместно с третьей уложили некоторый
участок пути в четыре раза быстрее, чем его уложила бы одна вторая бри-
гада.
   5. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным ра-
венство
                     x 3 − 6x 2 − xy + 13x + 3y + 7 = 0 .

                                   Вариант 2
                             sin 2x
    1. Решить уравнение:             = −2 cos x .
                           1 + sin x
   2. Для каждого значения параметра а найти все х, удовлетворяющие ра-
венству

          [          ] (                ) [          ]       ⎛
          1 + (3a + 4 ) log 2 − 2x − x + 1 + (a − 2 ) log 7 ⎜⎜1 −
                       2               2             2            x2 ⎞
                                                                  3
                                                                     ⎟=
                                                                     ⎟
                                                             ⎝       ⎠

                             (              )    ⎛
                      = log 2 − 2 x − x + log 7 ⎜⎜1 −
                                        2             x2 ⎞
                                                       3
                                                         ⎟.
                                                         ⎟
                                                 ⎝       ⎠

    3. Решить неравенство:
                             [log 2 (x − 3) 2
                                                ]
                                              ≥ 0.
                               x 2 − 4x − 5
    4. Три автомашины перевозят зерно, загружаясь в каждом рейсе полно-
стью. За один рейс первая и вторая автомашины вместе перевозят 6 т зер-
на. Первая и третья автомашины вместе перевозят за два рейса столько же
зерна, сколько вторая автомашина за три рейса. Найти, какое количество
зерна перевозит вторая автомашина за один рейс, если известно, что неко-
торое количество зерна вторая и третья автомашины перевозят вместе, со-
вершая в три раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей автома-
шине для перевозки того же количества зерна.
    5. Найти все пары целых чисел х, у, при которых является верным ра-
венство
                          x 3 − xy − 7x + 2 y + 23 = 0 .

                                   Вариант 3
                             sin x
    1. Решить уравнение:             = 1 − cos x .
                           1 + cos x
4