Основы компьютерного проектирования и моделирования радиоэлектронных средств. Ишков А.С. - 25 стр.

         F1 ( x1 , x 2 ,....x n ) ⎫
         F2 (x1 , x 2 ,....x n ) ⎪⎪
                                  ⎬ или в векторной форме: F(x) = 0,
         ...................... ⎪
         Fn ( x1 , x 2 ,....x n )⎪⎭
       где х – вектор с n компонентами, F – вещественная вектор-функция с n
компонентами.
       Для решения систем нелинейных уравнений на ЭВМ используются ме-
тоды, в основе которых лежит принцип последовательных приближений (ите-
раций), когда решение многократно уточняется, пока не достигнет требуемой
точности.
       Основными характеристиками численных методов решения систем ко-
нечных нелинейных уравнений являются скорость сходимости и область схо-
димости, определяемая условиями сходимости. Скорость сходимости оценива-
ется обычно по изменению расстояния до точки решения в двух последова-
тельных итерациях.
       Для решения системы F(x) = 0 можно использовать метод простых ите-
раций:
                                   x(k+1) = x(k) – λF(x(k)),
       где k – номер итерации, λ – множитель, регулирующий сходимость.
       В общем случае этот метод не гарантирует сходимости, однако при рас-
чете большинства апериодических негенераторных схем при малых λ алгоритм
будет сходиться. Главный недостаток этого метода – медленная сходимость,
поэтому для решения системы F(x) = 0 используется метод Ньютона:
                                      ( )                ( )
                            F ′ x k ⋅ ∆x k = − F x k (GxU=I),
                        k +1
         где ∆x = x − x - вектор неизвестных на k и k+1 итерации,
                  k             k

            ( )
         F ′ x k - матрица Якоби, элементами которой являются производные
∂Fi
     ,
∂x k
       F (x k ) - вектор поправок,
       Необходимо          решить     эту    систему,    т.е.   найти      вектор
                          , удовлетворяющий систему с точностью ε.
       Геометрическая сущность метода Ньютона состоит в том, что на каждом
цикле итерации кривая f(х) заменяется прямой линией, касательной к f(х) в
точке хk, где k — номер приближения (рисунок 11).
       1. Выберем произвольную точку x0 на оси x и заданную погрешность
решения ε.
       2. Проведем касательную к функции F(x) в точке (x0,F(x0)).
       Определим точку, в которой касательная пересекает линию y=0.
       Обозначим эту точку x1.
       3. Вычислим значение функции F(x) в точке x1. Если |F(x1)|> ε
       или |x0-x1|> ε, тогда в качестве новой точки x0 выберем x1 (т.е. x0=x1)
       и перейдем к пункту 2.


                                                                              25