Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 102 стр.

Спаривание Вейля-Тейта                                                        103

что Q = mP в том и только в том случае, если выполняются два условия:
      1. nQ = ∞,
      2. e(P, Q) = 1.


3.6. Дивизоры
      Построение отображения Вейля и родственного ему отображения
Тейта основано на теории дивизоров (делителей) алгебраических кривых,
разработанной Андре Вейлем. Приведем здесь основные сведения из этой
теории. Более подробный материал можно найти в книге Л. Вашингтона [54].
      Идея     понятия       дивизора     основано   на   том   наблюдении,   что
коэффициенты любого полинома можно вычислить с точностью до
ненулевого множителя, зная корни этого многочлена и их кратность.
Действительно, если многочлен P (x) имеет своими корнями кратности ri
элементы xi , то
                             Y
               P (x) = a ·    (x − xi )ri .

      В нашем случае класс изучаемых функций состоит из дробно-
рациональных функций над эллиптическими кривыми, т.е. отношений двух
многочленов от двух переменных x и y , определенных на точках некоторой
эллиптической кривой.
      Пусть теперь E : y 2 = x3 +ax+b–эллиптическая кривая над полем K ,
а f (x, y) : E → K –дробно-рациональная функция. Если f – не константа, то
существует не более конечного числа точек P ∈ E , в которых f (P ) = 0 или
f (P ) = ∞. Точки первого вида называются нулями функции f , а второго –
полюсами f .
      С точностью до ненулевого множителя функцию f можно задать,
перечисляя все ее нули и полюсы и задавая их кратность. Если f имеет нуль
(полюс) кратности k в точке P , то f можно представить в виде произведения
f = ukP · g , где uP имеет в точке P нуль (полюс) первого порядка, а
g(P ) 6= 0, 6= ∞. Функция uP называется униформизатором функции f в
точке P