Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Спаривание Вейля-Тейта 104
Пример. Рассмотрим кривую y
2
= x
3
− x и функцию f(x, y) = x/y .
Перепишем f в виде
f(x, y) =
x
y
=
xy
y
2
=
xy
x
3
− x
=
y
x
2
− 1
= y ·
1
x
2
− 1
.
Из последнего представления видим, что точка P(0, 0) является нулем 1-о
порядка функции f(x, y) = x/y , а функция u(x, y) = y ее униформизатором
в точке P (0, 0).
Пусть M
1
–множество нулей, а M
2
– множество полюсов функции
f(x, y). Сопоставим функции f формальное выражение
f(x, y) ∼
X
P ∈M
1
r
P
[P ] −
X
P ∈M
2
r
P
[P ], (3.69)
где r
P
– кратность нуля (полюса) P .
Определение 3.1. Пусть E : y
2
= x
3
+ ax + b – эллиптическая кривая
над полем k . Дивизором D над кривой E называется формальная сумма
вида
D =
X
P ∈E
r
P
[P ],
в которой коэффициенты r
P
– целые числа (положительные или
отрицательные) и число слагаемых с ненулевым коэффициентом r
P
– конечно.
Множество точек P , для которых r
P
6= 0, называется
носителем (support) дивизора D и обозначается supp(D). Целое число
k =
P
r
P
, P ∈ supp(D), называется степенью D и обозначатся deg(D).
Точка эллиптической кривой, равная
P
P ∈E
r
P
· P , называется суммой
дивизора D и обозначается sum(D).
Сумма дивизоров определяется естественным образом. Множество
дивизоров эллиптической кривой образует аддитивную группу относительно
операции сложения, а нулем является дивизор, у которого все коэффициенты
равны 0. В группе дивизоров наиболее важную роль играют дивизоры
функций, которые называются главными дивизорами (principal divisors).
Спаривание Вейля-Тейта                                                                104

        Пример. Рассмотрим кривую y 2 = x3 − x и функцию f (x, y) = x/y .
Перепишем f в виде
                    x xy     xy     y       1
       f (x, y) =     = 2 = 3   = 2   =y· 2   .
                    y  y   x −x x −1     x −1
Из последнего представления видим, что точка P (0, 0) является нулем 1-о
порядка функции f (x, y) = x/y , а функция u(x, y) = y ее униформизатором
в точке P (0, 0).
        Пусть M1 –множество нулей, а M2 – множество полюсов функции
f (x, y). Сопоставим функции f формальное выражение
                           X                   X
              f (x, y) ∼           rP [P ] −           rP [P ],                     (3.69)
                           P ∈M1               P ∈M2

где rP – кратность нуля (полюса) P .

Определение 3.1. Пусть E : y 2 = x3 + ax + b – эллиптическая кривая
над полем k . Дивизором D над кривой E называется формальная сумма
вида
                                X
                           D=          rP [P ],
                                P ∈E

в которой коэффициенты rP                   – целые числа (положительные или
отрицательные) и число слагаемых с ненулевым коэффициентом rP
– конечно.
        Множество точек              P , для которых              rP   6=   0, называется
носителем (support) дивизора D и обозначается supp(D). Целое число
    P
k =    rP , P ∈ supp(D), называется степенью D и обозначатся deg(D).
                                     P
Точка эллиптической кривой, равная     P ∈E rP · P , называется суммой
дивизора D и обозначается sum(D).

        Сумма дивизоров определяется естественным образом. Множество
дивизоров эллиптической кривой образует аддитивную группу относительно
операции сложения, а нулем является дивизор, у которого все коэффициенты
равны 0. В группе дивизоров наиболее важную роль играют дивизоры
функций, которые называются главными дивизорами (principal divisors).

Страницы