Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Спаривание Вейля-Тейта 106
Из формул (3.72) и (3.73) можно видеть, что согласно определению
3.1 степени прямых l
P
1
,P
2
и v
P
3
равны 0, а их сумма равна ∞, что является
примером общего факта, выражаемого следующей теоремой:
Теорема 3.3. Дивизор D эллиптической кривой E , имеющий степень
0, является дивизором некоторой функции тогда и только тогда, когда
sum(D) = ∞.
Пример нахождения функции по заданному дивизору
Формула (3.74) дает способ нахождения функции f для заданного
дивизора D , удовлетворяющего теореме 3.3. Вычислим функцию f на ЭК
E : y
2
= x
3
+ 4x(mod 11), дивизор которой имеет вид
D = [(0, 0)] + [(2, 4)] + [(4, 5)] + [(6, 3)] − 4[∞].
Прямая l, проходящая через т.(0, 0) и (2, 4) имеет вид l = y − 2x,
причем т.(2, 4) является нулем 2 порядка, откуда
div(y − 2x) = [(0, 0)] + 2[(2, 4)] − 3[∞].
Вертикальная прямая через т.(2, 4) имеет вид v = x − 2 и
div(x − 2) = [(2, 4] + [(2, −4)] − 2[∞].
Значит,
[(0, 0)] + [(2, 4)] = [(2, −4)] + [∞] + div
y −2x
x − 2
.
Аналогично,
[(4, 5)] + [(6, 3)] = [(2, 4)] + [∞] + div
y + x + 2
x − 2
,
откуда
D = [(2, −4)] + div
y −2x
x − 2
+ [(2, 4)] + div
y + x + 2
x − 2
− 2[∞].
Спаривание Вейля-Тейта                                                                    106

      Из формул (3.72) и (3.73) можно видеть, что согласно определению
3.1 степени прямых lP1 ,P2 и vP3 равны 0, а их сумма равна ∞, что является
примером общего факта, выражаемого следующей теоремой:

Теорема 3.3. Дивизор D эллиптической кривой E , имеющий степень
0, является дивизором некоторой функции тогда и только тогда, когда
sum(D) = ∞.

Пример нахождения функции по заданному дивизору

      Формула (3.74) дает способ нахождения функции f для заданного
дивизора D , удовлетворяющего теореме 3.3. Вычислим функцию f на ЭК
E : y 2 = x3 + 4x(mod 11), дивизор которой имеет вид

      D = [(0, 0)] + [(2, 4)] + [(4, 5)] + [(6, 3)] − 4[∞].

      Прямая l , проходящая через т.(0, 0) и (2, 4) имеет вид l = y − 2x,
причем т.(2, 4) является нулем 2 порядка, откуда

          div(y − 2x) = [(0, 0)] + 2[(2, 4)] − 3[∞].

Вертикальная прямая через т.(2, 4) имеет вид v = x − 2 и

          div(x − 2) = [(2, 4] + [(2, −4)] − 2[∞].

Значит,
                                                                   
                                                             y − 2x
      [(0, 0)] + [(2, 4)] = [(2, −4)] + [∞] + div                     .
                                                              x−2
Аналогично,
                                                              
                                                         y+x+2
      [(4, 5)] + [(6, 3)] = [(2, 4)] + [∞] + div                 ,
                                                          x−2
откуда
                                                                         
                                y − 2x                              y+x+2
     D = [(2, −4)] + div                     + [(2, 4)] + div                   − 2[∞].
                                 x−2                                 x−2

Страницы