Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Спаривание Вейля-Тейта 107
Поскольку (2, −4)] + (2, 4)] = div(x − 2) + 2[∞], то получим
D = div(x − 2) + div
y − 2x
x − 2
+ div
y + x + 2
x − 2
=
= div
(y − 2x)(y + x + 2)
x − 2
.
Если раскрыть скобки в числителе и заменить слагаемое y
2
на x
3
+ 4x, то
вынося x −2 за скобки, получим (y −2x)(y + x + 2) = (x −2)(x
2
−y), откуда
D = div(x
2
− y).
Функции от дивизоров
Отображение, задаваемое формулой (3.76), является групповым
гомоморфизмом из аддитивной группы дивизоров в мультипликативную
группу поля K , т.к.
f(D
1
+ D
2
) = f(D
1
) · f(D
2
), f(D
1
− D
2
) =
f(D
1
)
f(D
2
)
. (3.75)
Распространяя формулы (3.75) на произвольныедивизоры, получим
формулу
f(
X
kP ) =
Y
f(P )
k
. (3.76)
Следующая теорема носит название закона взаимности Вейля (Weil
reciprocity).
Теорема 3.4. Если f и g – функции на эллиптической кривой такие, что
div(f) и div(g) не имеют общих точек, тогда выполняется следующая
формула:
f(div(g)) = g(div(f)).
Определение отображений Вейля и Тейта
Дадим в этом разделе точные определения отображений Вейля и Тейта
(Weil’ and Tate’ Pairings). Пусть E : y
2
= x
3
+ax + b – эллиптическая кривая
Спаривание Вейля-Тейта                                                    107

Поскольку (2, −4)] + (2, 4)] = div(x − 2) + 2[∞], то получим
                                                   
                             y − 2x           y+x+2
    D = div(x − 2) + div              + div             =
                              x−2              x−2
                                
             (y − 2x)(y + x + 2)
     = div                         .
                    x−2
Если раскрыть скобки в числителе и заменить слагаемое y 2 на x3 + 4x, то
вынося x − 2 за скобки, получим (y − 2x)(y + x + 2) = (x − 2)(x2 − y), откуда

           D = div(x2 − y).

Функции от дивизоров

        Отображение, задаваемое формулой (3.76), является групповым
гомоморфизмом из аддитивной группы дивизоров в мультипликативную
группу поля K , т.к.
                                                         f (D1 )
      f (D1 + D2 ) = f (D1 ) · f (D2 ), f (D1 − D2 ) =           .      (3.75)
                                                         f (D2 )
       Распространяя формулы (3.75) на произвольныедивизоры, получим
формулу
       X        Y
     f(  kP ) =   f (P )k .                                             (3.76)

       Следующая теорема носит название закона взаимности Вейля (Weil
reciprocity).

Теорема 3.4. Если f и g – функции на эллиптической кривой такие, что
div(f ) и div(g) не имеют общих точек, тогда выполняется следующая
формула:

           f (div(g)) = g(div(f )).

Определение отображений Вейля и Тейта

      Дадим в этом разделе точные определения отображений Вейля и Тейта
(Weil’ and Tate’ Pairings). Пусть E : y 2 = x3 + ax + b – эллиптическая кривая

Страницы