Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Спаривание Вейля-Тейта 105
Вычислим дивизор прямой l : ax + by + c, проходящей через две
заданные точки P
1
(x
1
, y
1
) и P
2
(x
2
, y
2
) эллиптической кривой E . Если l
не является касательной в т.P
1
и P
2
, то она пересекает E и в третьей
т.P
3
(x
3
, y
3
), а также в бесконечно удаленной точке ∞. В точках P
1
, P
2
и
P
3
прямая l имеет нули 1 порядка, а в т. ∞ – полюс 3 порядка. Чтобы
увидеть это, перепишем уравнение ЭК y
2
= x
3
+ Ax + B в следующем виде:
x
y
2
= x
−1
1 +
A
x
2
+
B
x
3
−1
, (3.70)
откуда
x
−1
=
x
y
2
·
1 +
A
x
2
+
B
x
3
. (3.71)
Из уравнения (3.70) следует, что x/y обращается в 0 в т.∞, а
уравнение (3.71) показывает, что функция x/y является униформизатором
x
−1
в т.∞ и т.∞ является нулем второго порядка для x
−1
. Значит т.∞
является полюсом 2 порядка для x. Так как y = x · (y/x), то т.∞ является
полюсом 3 порядка для y и для функции l = Ax + By + C . Отсюда дивизор
прямой l имеет вид
div(l
P
1
,P
2
) = 1[P
1
] + 1[P
2
] + 1[P
3
] − 3[∞]. (3.72)
Проведем через т.P
3
вертикальную прямую v = x −x
3
. Она проходит
через т.P
3
(x
3
, y
3
), −P
3
(x
3
, −y
3
) и т.∞, а ее дивизор имеет вид
div(v
P
3
) = 1[P
3
] + 1[−P
3
] − 2[∞]. (3.73)
Из формул (3.72) и (3.73) получим
div
Ax + By + C
x − x
3
= div(Ax+By+C)−div(x−x
3
) = [P
1
]+[P
2
]−[−P
3
]−[∞].
Так как P
1
+ P
2
= −P
3
на кривой E , то последнюю формулу можно
переписать в виде
[P
1
] + [P
2
] = [P
1
+ P
2
] + [∞] + div
Ax + By + C
x − x
3
. (3.74)
Спаривание Вейля-Тейта                                                   105

       Вычислим дивизор прямой l : ax + by + c, проходящей через две
заданные точки P1 (x1 , y1 ) и P2 (x2 , y2 ) эллиптической кривой E . Если l
не является касательной в т.P1 и P2 , то она пересекает E и в третьей
т.P3 (x3 , y3 ), а также в бесконечно удаленной точке ∞. В точках P1 , P2 и
P3 прямая l имеет нули 1 порядка, а в т. ∞ – полюс 3 порядка. Чтобы
увидеть это, перепишем уравнение ЭК y 2 = x3 + Ax + B в следующем виде:
       2                   −1
        x       −1      A   B
             =x      1+ 2 + 3     ,                              (3.70)
        y              x    x
откуда
                  2         
                  x      A   B
         x−1   =     · 1+ 2 + 3 .                                      (3.71)
                  y      x   x

       Из уравнения (3.70) следует, что x/y обращается в 0 в т.∞, а
уравнение (3.71) показывает, что функция x/y является униформизатором
x−1 в т.∞ и т.∞ является нулем второго порядка для x−1 . Значит т.∞
является полюсом 2 порядка для x. Так как y = x · (y/x), то т.∞ является
полюсом 3 порядка для y и для функции l = Ax + By + C . Отсюда дивизор
прямой l имеет вид

       div(lP1 ,P2 ) = 1[P1 ] + 1[P2 ] + 1[P3 ] − 3[∞].                (3.72)

       Проведем через т.P3 вертикальную прямую v = x − x3 . Она проходит
через т.P3 (x3 , y3 ), −P3 (x3 , −y3 ) и т.∞, а ее дивизор имеет вид

         div(vP3 ) = 1[P3 ] + 1[−P3 ] − 2[∞].                          (3.73)

       Из формул (3.72) и (3.73) получим
                 
      Ax + By + C
div                 = div(Ax+By+C)−div(x−x3 ) = [P1 ]+[P2 ]−[−P3 ]−[∞].
         x − x3
       Так как P1 + P2 = −P3 на кривой E , то последнюю формулу можно
переписать в виде
                                                           
                                              Ax + By + C
 [P1 ] + [P2 ] = [P1 + P2 ] + [∞] + div                         .      (3.74)
                                                 x − x3

Страницы