Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Спаривание Вейля-Тейта 108
над алгебраически замкнутым полем K , n–положительное целое число и
E[n] – подгруппа точек кривой E порядка n:
E[n] = {P ∈ E |n · P = ∞}.
Эта подгруппа изоморфна аддитивной группе Z
n
× Z
n
.
Пусть т.T ∈ E[n]. Рассмотрим дивизор D = n[T ] −n[∞]. Его степень
равна 0, а сумма ∞. По теореме 3.3 найдется функция f , дивизор которой
равен D:
div(f
T
) = n[T ] − n[∞]. (3.77)
Будем называть функцию f
T
, удовлетворяющую (3.77), функцией
Вейля. Пусть т.P ∈ E[n] не принадлежит орбите т.T , т.е. не совпадает ни с
каким кратным kT , k ≤ n, точки T . Рассмотрим дивизоры
D
S
= [S] − [∞], D
T
= [T + R] − [R], (3.78)
где R–произвольно выбранная точка E[n].
Определение 3.2. Отображение (спаривание) Вейля – это билинейное
отображение
e
n
: E[n] × E[n] → µ
n
, (3.79)
где µ
n
–подгруппа по умножению корней n–й степени из 1 поля K ,
задаваемое следующей формулой:
e
n
(T, S) =
f
T
(D
S
)
f
S
(D
T
)
=
f
T
([S] − [∞])
f
S
([T + R] − [R])
. (3.80)
Используя формулы (3.75), можно переписать (3.80) в виде
e
n
(T, S) =
f
T
(R)f
T
(S)
f
S
(T + R)f
T
(∞)
. (3.81)
Можно доказать, что преобразование Вейля не зависит от выбора т.R,
поэтому в определении (3.78) в качестве R можно взять любую точку из
E[n]. В книге Л.Вашингтона ([54]) отображение Вейля задается обратным
Спаривание Вейля-Тейта                                                108

над алгебраически замкнутым полем K , n–положительное целое число и
E[n] – подгруппа точек кривой E порядка n:

             E[n] = {P ∈ E |n · P = ∞}.

Эта подгруппа изоморфна аддитивной группе Zn × Zn .
      Пусть т.T ∈ E[n]. Рассмотрим дивизор D = n[T ] − n[∞]. Его степень
равна 0, а сумма ∞. По теореме 3.3 найдется функция f , дивизор которой
равен D :

            div(fT ) = n[T ] − n[∞].                                (3.77)

      Будем называть функцию fT , удовлетворяющую (3.77), функцией
Вейля. Пусть т.P ∈ E[n] не принадлежит орбите т.T , т.е. не совпадает ни с
каким кратным kT , k ≤ n, точки T . Рассмотрим дивизоры

   DS = [S] − [∞], DT = [T + R] − [R],                              (3.78)

где R –произвольно выбранная точка E[n].

Определение 3.2. Отображение (спаривание) Вейля – это билинейное
отображение

            en : E[n] × E[n] → µn ,                                 (3.79)

где µn –подгруппа по умножению корней n–й степени из 1 поля K ,
задаваемое следующей формулой:
                    fT (DS )   fT ([S] − [∞])
      en (T, S) =            =                  .                   (3.80)
                    fS (DT ) fS ([T + R] − [R])

      Используя формулы (3.75), можно переписать (3.80) в виде

                              fT (R)fT (S)
             en (T, S) =                    .                       (3.81)
                           fS (T + R)fT (∞)
      Можно доказать, что преобразование Вейля не зависит от выбора т.R ,
поэтому в определении (3.78) в качестве R можно взять любую точку из
E[n]. В книге Л.Вашингтона ([54]) отображение Вейля задается обратным

Страницы