Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Спаривание Вейля-Тейта 109
отображением по отношению к формуле (3.78), полученным при перестановке
местами аргументов T и S . Это не влияет на свойства этого преобразования.
Рассмотрим пример вычисления отображения Вейля.
Пример. Пусть E –эллиптическая кривая над полем F
7
, заданная
уравнением
y
2
= x
3
+ 2.
Имеем, E(F
7
)[3] ' Z
3
⊕ Z
3
. Вычислим e
3
((5, 1), (0, 3)).
Определим S = (0, 3), T = (5, 1) и R = (6, 1). Тогда D
S
=
[(0, 3)] − [∞], D
T
= [(3, 6)] − [(6, 1)] = [(5, 1) + (6, 1)] − [(6, 1)]. Также как
и в предыдущем разделе, найдем функцию Вейля (3.77) для точек S и T :
f
(0,3)
= y − 3, f
(5,1)
=
4x −y + 1
5x −y − 1
.
Далее,
f
(0,3)
(D
T
) =
f
(0,3)
(3, 6)
f
(0,3)
(6, 1)
=
6 −3
1 −3
≡ 2 (mod 7).
Аналогично,
f
(5,1)
(D
S
) = 4.
Отсюда
e
3
((5, 1), (0, 3)) =
2
4
≡ 4 ( mod 7).
Отметим, что 4 является кубическим корнем из 1, т.к. 4
3
= 64 ≡ 1 (mod 7).
Определим далее отображение Тейта. Первым аргументом
преобразования Тейта по-прежнему является произвольная т.T ∈ E[n].
Обозначим через nE множество точек {nQ | Q ∈ E}, а через E/nE
множество классов эквивалентности кривой E по множеству nE .
Определение 3.3. Отображение (спаривание) Тейта – это билинейное
отображение
τ
n
: E[n] ×E/E[n] → F
∗
q
k
× F
∗
q
k
\ µ
n
, (3.82)
Спаривание Вейля-Тейта                                                         109

отображением по отношению к формуле (3.78), полученным при перестановке
местами аргументов T и S . Это не влияет на свойства этого преобразования.
Рассмотрим пример вычисления отображения Вейля.

         Пример. Пусть E –эллиптическая кривая над полем F7 , заданная
уравнением

                 y 2 = x3 + 2.

Имеем, E(F7 )[3] ' Z3 ⊕ Z3 . Вычислим e3 ((5, 1), (0, 3)).
         Определим S = (0, 3), T = (5, 1) и R = (6, 1). Тогда DS =
[(0, 3)] − [∞], DT = [(3, 6)] − [(6, 1)] = [(5, 1) + (6, 1)] − [(6, 1)]. Также как
и в предыдущем разделе, найдем функцию Вейля (3.77) для точек S и T :
                                       4x − y + 1
            f(0,3) = y − 3, f(5,1) =              .
                                       5x − y − 1
Далее,
                          f(0,3) (3, 6) 6 − 3
         f(0,3) (DT ) =                =      ≡ 2 (mod 7).
                          f(0,3) (6, 1) 1 − 3
Аналогично,

                f(5,1) (DS ) = 4.

Отсюда
                            2
   e3 ((5, 1), (0, 3)) =      ≡ 4 ( mod 7).
                            4
Отметим, что 4 является кубическим корнем из 1, т.к. 43 = 64 ≡ 1 (mod 7).

         Определим         далее    отображение       Тейта.   Первым   аргументом
преобразования Тейта по-прежнему является произвольная т.T ∈ E[n].
Обозначим через nE множество точек {nQ | Q ∈ E}, а через E/nE
множество классов эквивалентности кривой E по множеству nE .

Определение 3.3. Отображение (спаривание) Тейта – это билинейное
отображение

 τn : E[n] × E/E[n] → F∗qk × F∗qk \ µn ,                                     (3.82)

Страницы