Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 175 стр.

Приложение. Алгебраические числовые поля                             176

А. Приложение. Алгебраические числовые поля
      В этой части мы дадим введение в теорию алгебраических числовых
полей, необходимое для понимания метода решета числового поля, а
также определения алгебраических понятий, использовавшихся в других
алгоритмах. С общей теорией алгебраических числовых полей можно
познакомится по учебникам Ван дер Вардена «Алгебра» [63], «Теория
чисел» [62] З.И. Боревича и И.Р. Шафаревича, а также «Лекциям об
алгебраических числах» Ю.В. Нестеренко [75], выложенным в Интернете.
Из книг, изданных за рубежом, можно рекомендовать 3-е издание известного
учебника «Алгебраические числовые поля и последняя теорема Ферма»
И. Стюарта и Д. Толла, 2002 г., в котором дает ясное и наглядное описание
всех трудных алгебраических понятий с сопровождением изложения
многочисленными примерами и объяснениями.

     Основные определения

Определение А.1. Кольцом называется непустое множество элементов
C , на элементах которого определены алгебраические операции сложения
+, относительно которой C является абелевой группой с нейтральным
элементом 0, и умножения ∗, относительно которой C является
моноидом, т.е. выполняется свойство ассоциативности a∗(b∗c) = (a∗b)∗c.
Операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности
a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c, (b + c) ∗ a = b ∗ a + c ∗ a .

       Кольцо называется коммутативным, если операция умножения
является коммутативной. Все рассматриваемые здесь кольца являются
коммутативными.
       Примерами колец могут служить кольцо целых чисел Z, а также
кольцо полиномов Z[x] от одной переменной x с коэффициентами из Z .
Эти кольца содержат единичный элемент 1, который обладает свойством
нейтральности по умножению: для любого элемента a кольца выполняется
a ∗ 1 = 1 ∗ a = a. Такие кольца называются кольцами с единицей. Другие
кольца, например, кольцо aZ, состоящее из всех кратных a ∗ k, k ∈Z,