Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 176 стр.

Приложение. Алгебраические числовые поля                               177

произвольного a 6= 1, не содержит единицы и называется кольцом без
единицы. Напомним также определение поля.

Определение А.2. Полем называется непустое множество элементов
K , на элементах которого определены алгебраические операции сложения
+ и умножения ∗,относительно которых K является коммутативными
группами, связанные законами дистрибутивности.

      В произвольном поле любой ненулевой элемент a имеет обратные
по сложению −a и умножению a−1 , поэтому, в полях возможны все 4
арифметические операции – сложения, вычитания, умножения и деления.
Примерами числовых полей являются поле рациональных чисел Q,
действительных чисел R, комплексных чисел C. Эти поля содержат
бесконечное число элементов (поле Q–счетно, все остальные поля имеют
мощность континуума).
      Существует   также   конечные   поля,   например,   поле   GFp    =
{0, 1, 2, ..., p − 1} классов вычетов кольца Z по простому модулю p, а
также поля GFpk , состоящие из pk элементов, где p–простое число, а
k –положительное целое число.
      Любое коммутативное кольцо с единицей C может быть погружено в
некоторое минимальное поле K ⊃ C , состоящее из элементов вида a/b, где
a, b ∈ C . Такое поле называется полем частных кольца C . Примером может
служить поле рациональных чисел Q, являющееся полем частных для кольца
целых чисел Z .
      Множество многочленов K[x] с коэффициентами из поля K образует
кольцо с обычными операциями сложения и умножения многочленов. Роль
простых чисел в этом кольце играют неприводимые многочлены.

Определение А.3. Многочлен f ∈ K[x] называется неприводимым над
K , если он не может быть разложен в произведение двух многочленов
h ∈ K[x] и g ∈ K[x], отличных от константных многочлена.