Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Приложение. Алгебраические числовые поля 179
А.1. Алгебраические расширения числовых полей
Определение А.5. Пусть K –числовое поле. Элемент θ называется
алгебраическим над полем K , если он является корнем какого-нибудь
многочлена f(x) с коэффициентами из поля K . Многочлен наименьшей
степени со старшим коэффициентом 1, имеющий θ своим корнем,
называется минимальным многочленом для θ. Степенью алгебраического
элемента θ называется степень его минимального многочлена. Числами,
сопряженными с θ, называются все остальные корни минимального
многочлена.
Минимальный многочлен любого алгебраического числа неприводим и
не имеет кратных корней. Примерами алгебраических элементов над полем
Q являются числа 7,
√
2, 3i с минимальными многочленами f(x) = x − 7,
x
2
− 2 и x
2
+ 9 соответственно.
Определение А.6. Минимальное поле, содержащее исходное поле K
и конечный набор алгебраических над K элементов {θ
1
, θ
2
, ... θ
r
, },
называется конечным алгебраическим расширением поля K и обозначается
K[θ
1
, θ
2
, ... θ
r
]. Теорема о примитивном элементе утверждает,
что любое конечное алгебраическое расширения порождается одним
алгебраическим элементом, который называется примитивным
элементом этого расширения. Иначе говоря, для любого расширения
K[θ
1
, θ
2
, ... θ
r
] существует алгебраический над K элемент θ , такой, что
K[θ
1
, θ
2
, ... θ
r
] = K[θ].
Определение А.7. Алгебраическим числовым полем называется
произвольное конечное расширение поля рациональных чисел Q.
Пример. Присоединим к Q число i =
√
−1. Число i является
корнем неприводимого многочлена x
2
+ 1, и поле K = Q(i)–алгебраическое
числового поле. Это поле изоморфно полю многочленов 1-степени ax + b с
рациональными коэффициентами. Произведение (2x−1)(x +3) вычисляется
по модулю x
2
+1, т.е. (2x−1)(x+3) = 2x
2
+5x−3 mod (x
2
+1) = 2x
2
+5x−3−
Приложение. Алгебраические числовые поля                                        179

А.1. Алгебраические расширения числовых полей
Определение А.5. Пусть K –числовое поле. Элемент θ называется
алгебраическим над полем K , если он является корнем какого-нибудь
многочлена f (x) с коэффициентами из поля K . Многочлен наименьшей
степени со старшим коэффициентом 1, имеющий θ своим корнем,
называется минимальным многочленом для θ . Степенью алгебраического
элемента θ называется степень его минимального многочлена. Числами,
сопряженными с θ , называются все остальные корни минимального
многочлена.

         Минимальный многочлен любого алгебраического числа неприводим и
не имеет кратных корней. Примерами алгебраических элементов над полем
                    √
Q являются числа 7, 2, 3i с минимальными многочленами f (x) = x − 7,
x2 − 2 и x2 + 9 соответственно.

Определение А.6. Минимальное поле, содержащее исходное поле K
и конечный набор алгебраических над K               элементов {θ1 , θ2 , ... θr , },
называется конечным алгебраическим расширением поля K и обозначается
K[θ1 , θ2 , ... θr ].   Теорема   о   примитивном    элементе       утверждает,
что любое конечное алгебраическое расширения порождается одним
алгебраическим           элементом,    который   называется         примитивным
элементом этого расширения. Иначе говоря, для любого расширения
K[θ1 , θ2 , ... θr ] существует алгебраический над K элемент θ , такой, что
K[θ1 , θ2 , ... θr ] = K[θ].

Определение А.7. Алгебраическим             числовым       полем      называется
произвольное конечное расширение поля рациональных чисел Q.
                                                      √
         Пример. Присоединим к Q число i =                −1. Число i является
корнем неприводимого многочлена x2 + 1, и поле K = Q(i)–алгебраическое
числового поле. Это поле изоморфно полю многочленов 1-степени ax + b с
рациональными коэффициентами. Произведение (2x − 1)(x + 3) вычисляется
по модулю x2 +1, т.е. (2x−1)(x+3) = 2x2 +5x−3 mod (x2 +1) = 2x2 +5x−3−

Страницы