Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 179 стр.

Приложение. Алгебраические числовые поля                                   180

2(x2 + 1) = 5x − 5. Обратный к g(x) элемент можно найти, решая с помощью
расширенного алгоритма Евклида, уравнение u(x) · f (x) + w(x) · g(x) = 1, и
полагая g −1 (x) = w(x).
      Исходя из сказанного, любое алгебраическое числовое поле K = Q(α)
можно представлять, как конечномерное векторное пространство с базисом
B = {1, x, x2 , ..., xd−1 } и коэффициентами из поля Q, где d–степень
минимального многочлена элемента α .
      Однако в методе решета числового поля рассматриваемые только
многочлены с целыми коэффициентами. Следовательно, главным объектом
изучения являются элементы кольца многочленов Z(α) для некоторого
целого алгебраического числа α . Алгебраическое число называется целым,
если его минимальный многочлен имеет целые коэффициенты.
      Содержанием      многочлена     g(x)   (content   of   polynomial   g(x))
называется наибольший общий делитель всех его ненулевых коэффициентов,
будем обозначать содержание content(g). Если content(g) = 1, то такой
многочлен называется примитивным.
      Многочлен g(x) ∈ Z[x] называется унитарным, если его старший
коэффициент равен 1. Кольцо Z[x] является бесконечномерным с базисом
B = {1, x, x2 , ...}. Однако, в дальнейшем, речь будет идти только о
кольце вычетов многочленов из Z[x], взятых по модулю неприводимого
многочлена f (x). Такая структура обозначается как Z[x]/(f (x)), где (f (x))–
это идеал Z[x], порождаемый многочленом f (x). Это кольцо изоморфно
кольцу многочленов Z[α], где α –корень многочлена f (x).


А.2. Идеалы коммутативных колец
Определение А.8. Пусть M            – непустое подмножество элементов
кольца C . Идеалом коммутативного кольца < C, +, ∗ >, порождаемым
множеством      M,    называется     наименьшее     множество      элементов,
содержащее    M    и замкнутое относительно операций сложения и
умножения на элементы из всего кольца C :

  1. (∀x, y ∈ I) x + y ∈ I