Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 181 стр.

Приложение. Алгебраические числовые поля                                     182

называются сравнимыми по идеалу I , если их разность a − b принадлежит
I , записывается
                                    a ≡ b (mod I).

      Обозначим через [a] класс вычетов, содержащий элемент a. Над
классами вычетов можно выполнять те же операции, что и с элементами
кольца, определяя [a] + [b] = [a + b], [a] ∗ [b] = [a ∗ b]. Нетрудно доказать,
что эти операции определены корректно на классах вычетов, т.е. результат
не зависит от выбора представителей классов.
      Множество классов вычетов также является кольцом, которое
называется фактор-кольцом кольца C по идеалу I и обозначается C/I .

Определение А.10. Произвольный непустой набор X поля K порождает
ненулевой идеал I относительно операций сложения и умножения на
элементы K . Минимальный набор X , порождающий I , называется
базисом идеала I . Число элементов базиса называется размерностью базиса.

      Нетрудно видеть, что в кольце Z[θ], размерность базиса любого идеала
не может превышать степень алгебраического числа d. Значит, любой идеал
в Z[θ] обладает конечным базисом. Кольца, в которых любой идеал является
конечнопорожденным, называются нетеровыми (noetherian) по имени Эмми
Нетер-Amalie Emmy Noether (1882–1935)., считающейся самым крупным
математиком среди женщин-математиков всех времен и народов.


А.3. Целые алгебраические числа
      Напомним, что алгебраическое число α называется целым, если
его минимальный многочлен имеет целые коэффициенты. Зафиксируем
алгебраическое числовое поле K = Q(α), определяемое минимальным
многочленом f (x) = xd + ad−1 xd−1 + ... a0 с целыми коэффициентами,
и   обозначим      через   ZK   множество       целых   алгебраических   чисел,
принадлежащих полю K .
      Очевидно,      элемент    α     принадлежит    ZK .   Также   кольцу   ZK
принадлежат многочлены от α с целыми коэффициентами. Если два