Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 182 стр.

Приложение. Алгебраические числовые поля                           183

элемента принадлежат ZK , то их сумма и произведение также принадлежат
ZK . Справедлива следующая теорема:

Теорема А.1. Множество ZK является кольцом, содержащим кольцо
Z[α] многочленов с целыми коэффициентами в виде подкольца.

     При этом ZK не обязано совпадать с кольцом Z[α]. Например, в поле
      √                   √
K = Q[ 5] элемент g = (−1+ 5)/2 является целым, т.к. он является корнем
(минимального) многочлена f (x) = x2 +x−1, однако не принадлежит кольцу
  √
Z[ 5].
        Понятие целого алгебраического числа является очень важным для
теории алгебраических числовых полей, поскольку теорема об однозначном
разложении целых элементов поля K может выполняться только в кольце
целых алгебраических чисел:

Теорема А.2. Если в произвольном кольце C ⊂ K выполняется теорема
об однозначном разложении на множители, то кольцо C –цельнозамкнуто,
т.е. содержит корни всех неприводимых унитарных многочленов с
коэффициентами из C .

        С другой стороны, разница между кольцами ZK и Z[α] не столь
велика, и любое целое алгебраическое число умножением на некоторый
фиксированный элемент кольца Z[α] может быть преобразовано в элемент
Z[α]:

Теорема А.3. Для любого g(α) ∈ ZK , g(α) · f 0 (α) лежит в Z[α]. Здесь
f (x)–минимальный многочлен элемента α .

        Поговорим теперь о возможности однозначного разложения целых
элементов поля K в виде произведения простых элементов.

Определение А.11. Коммутативное        кольцо   называется    областью
целостности (integral domain), если в нем нет делителей нуля, т.е.
ненулевых элементов a, b, произведение которых равно 0. Будем называть
произвольное коммутативное кольцо дедекиндовым, если оно является
областью целостности и любой элемент этого кольца однозначно
представим в виде произведения простых элементов этого кольца.