Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Приложение. Алгебраические числовые поля 185
Пример вычисления нормы
Пусть f(x) = x
3
+a
2
x
2
+a
1
x+ a
0
. Вычислим норму многочлена первой
степени h = x − b. Умножив h на базис B = (x
2
, x, 1) получим вектор
B · h = (x
3
− bx
2
, x
2
− bx, x −b).
Только первая координаты вышла за пределы пространства полиномов
2-й степени, поэтому вычитая из первой координаты вектора B · h полином
f(x), получим вектор из пространства V :
B · h = (−a
2
x
2
− a
1
x − a
0
− bx
2
, x
2
− bx, x −b).
Перепишем последнее равенство в виде:
B · h = (x
2
, x, 1) · H = (x
2
, x, 1) ·
−a
2
− b 1 0
−a
1
−b 1
−a
0
0 −b
(А.166)
Значит, матрица H этого преобразования равна:
−a
2
− b 1 0
−a
1
−b 1
−a
0
0 −b
Определитель этой матрицы равен b
3
+ a
2
b
2
+ a
1
b + a
0
= f(b). Значит,
норма Nr(x − b) многочлена x − b равна значению многочлена f(x) в т.
x = b.
Норма полинома a − bx
Проведя аналогичные вычисления, нетрудно вычислить норму
произвольного многочлена 1-й степени a − bx в поле K , определяемом
произвольным унитарным многочленом f
1
(x) = x
d
+ a
d−1
x
d−1
+ ... + a
0
:
Nr(a − bx) = −Nr(b) · Nr
x −
a
b
= −b
d
· f
1
a
b
(А.167)
Отметим, что пространство Z[x]/(f
2
(x)) представляет собой
множество полиномов 0-й степени, т.е. просто кольцо целых чисел.
Приложение. Алгебраические числовые поля                                           185

Пример вычисления нормы

     Пусть f (x) = x3 + a2 x2 + a1 x + a0 . Вычислим норму многочлена первой
степени h = x − b. Умножив h на базис B = (x2 , x, 1) получим вектор

                         B · h = (x3 − bx2 , x2 − bx, x − b).

         Только первая координаты вышла за пределы пространства полиномов
2-й степени, поэтому вычитая из первой координаты вектора B · h полином
f (x), получим вектор из пространства V :

                 B · h = (−a2 x2 − a1 x − a0 − bx2 , x2 − bx, x − b).

         Перепишем последнее равенство в виде:
                                                                      
                                                 −a2 − b 1         0
                   2                2
                                                                    
         B · h = (x , x, 1) · H = (x , x, 1) · 
                                                −a1     −b       1           (А.166)
                                                  −a0        0    −b

         Значит, матрица H этого преобразования равна:
                                             
                              −a2 − b 1 0
                                             
                             −a1      −b 1 
                                             
                                −a0     0 −b

         Определитель этой матрицы равен b3 + a2 b2 + a1 b + a0 = f (b). Значит,
норма N r(x − b) многочлена x − b равна значению многочлена f (x) в т.
x = b.

Норма полинома a − bx

         Проведя аналогичные вычисления, нетрудно вычислить норму
произвольного многочлена 1-й степени a − bx в поле K , определяемом
произвольным унитарным многочленом f1 (x) = xd + ad−1 xd−1 + ... + a0 :
                                        a     d
                                                      a
         N r(a − bx) = −N r(b) · N r x −    = −b · f1             (А.167)
                                         b             b
         Отметим,    что    пространство     Z[x]/(f2 (x))       представляет    собой
множество полиномов 0-й степени, т.е. просто кольцо целых чисел.

Страницы