Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 183 стр.

Приложение. Алгебраические числовые поля                                     184

      Классическим примером дедекиндового кольца является кольцо целых
чисел Z. Более общим примером дедекиндового кольца является теорема об
однозначном разложении в произвольном евклидовом кольце.

Определение А.12. Кольцо C называется евклидовым, если оно является
областью целостности, и определена евклидова функция нормы N r ,
удовлетворяющая следующему свойству:

     (∀a, b ∈ C)(∃k, r ∈ C)a = k · b + r,

причем, N r(r) < N r(b).
      Для колец многочленов понятием евклидовой нормы может
служить норма многочлена, определяемая ниже.


А.4. Норма полинома
      Рассмотрим кольцо Z(α), где, по-прежнему, α –примитивный корень
неприводимого многочлена f (x) степени d с целыми коэффициентами.
Будем рассматривать Z(α) как d–мерное векторное пространство над
кольцом Z . Стандартным базисом этого пространства является базис B =
(xd−1 , xd−2 , ... 1). Если стандартный базис B зафиксирован, то нормой
вектора h в пространстве V          будем называть определитель матрицы
линейного преобразования H , определяемого умножением вектора h на
элементы базиса (т.е. матрицы преобразования, переводящего систему
векторов B в систему h · B ).

                                N r(h) = det(H)                         (А.164)

      Очевидным       следствием      определения         нормы   является    ее
мультипликативность:

                           N r(g · h) = N r(g) · N r(h)                 (А.165)