Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 185 стр.

Приложение. Алгебраические числовые поля                                    186

Значение полинома g(x) = a − bx в этом кольце равно остатку от
деления на f2 (x) и равно

    g(x) = a − bx mod f2 (x) = a − bx mod (x − m) = a − bm = g(m),

т.е. совпадает со значением полинома в т.m.
      Норма полинома g(x) = a − bx в Z[x]/(f2 (x)) равна соответственно

 N r(a − bx) = −b · f2 (a/b) = −b · (a/b − m) = −(a − bm) = −g(m) (А.168)

т.е. совпадает с точностью до знака с самим полиномом.
      Норма многочленов может принимать как положительные, так и
отрицательные значения. Для простоты удалим знак ’–’ перед определением
нормы в обоих выражениях и обозначим полученные функции через F1 и F2 :

                            
                            b
       F1 (a, b) = ad · f1     = ad · ad + ad−1 ad−1 b + ... + a0 bd ,   (А.169)
                            a
               F2 (a, b) = a − bm.                                       (А.170)


А.5. Теория делимости в алгебраических числовых
      полях
      Представление целых чисел в виде произведения простых чисел
и их степеней, являясь предметом этой монографии, дает классический
пример однозначного разложения. Такие представления также возможны
в произвольных евклидовых колец, т.е. кольцах, обладающих евклидовой
нормой (А.12). Однако, однозначное разложение возможно не только в
евклидовых кольцах, но и в кольцах более общего вида – нетеревых кольцах
(А.2), обладающих конечным базисом. Поскольку, кольцо целых элементов
ZK алгебраического числового поля K = Q(α) являются нетеровым, то
теория делимости для такого кольца является наиболее важной в контексте
этой монографии.
      Напомним, что для метода решета числового поля требуется только
однозначная разложимость в кольце Z[α], где α –корень неприводимого