Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Приложение. Алгебраические числовые поля 188
Требование конечномерности кольца Z
K
Свойство конечномерности идеалов кольца Z
K
является необходимым
условием для возможности разложения элементов Z
K
в произведение
простых элементов. Действительно, например, в кольце всех целых
алгебраических элементов, обладающем бесконечным базисом, разложение
на простые элементы невозможно, потому, что простых элементов нет.
Например, для любого целого алгебраического числа β число β
1
=
√
β
является снова целым алгебраическим числом, из которого опять можно
извлечь квадратный корень β
2
=
√
β
1
, являющийся целым алгебраическим
числом, и т.д. Этот процесс можно продолжить до бесконечности.
Важным следствием свойства конечномерности является конечность
любой последовательности расширяющихся идеалов:
Теорема А.4. В кольце Z
K
любая последовательность идеалов I
0
⊆ I
1
⊆
I
2
⊆ ..., начиная с некоторого номера, является тождественной.
Например, в кольце Z
K
, где K = Q[
√
5], можно построить цепочку
расширяющихся идеалов (2) ⊂ (2,
√
5) ⊂ (1,
√
5) ⊂ ((1 +
√
5)/2, (1 −
√
5)/2). Последним в этой цепочке указан полный базис (integral ba-
sis) кольца Z
K
, после которого цепочка расширяться больше не может.
Докажем последнее. Произвольный элемент Q[
√
5] имеет вид p + q
√
5.Его
минимальный многочлен имеет вид
(x − p + q
√
5)(x − p − q
√
5) = x
2
− 2pt + (p
2
− 5q
2
).
Если p + q
√
5 ∈ Z
K
, то коэффициенты −2p и p
2
−5q
2
должны быть целыми
числами. Отсюда, 2p = a, p
2
− 5q
2
= m, где a, m ∈ Z . Если a–четно, то
p ∈ Z , 5q
2
∈ Z , откуда, q ∈ Z . Если a–нечетно, то 20q
2
∈ Z , откуда 2q ∈ Z .
Отсюда, произвольный элемент Z
K
имеет вид (a + b
√
5)/2, где a, b ∈ Z .
Однозначное разложение в кольцах
Элемент e кольца Z
K
называется единицей, если он обратим, т.е.
существует e
−1
∈ Z
K
. Обратимыми являются в точности те элементы Z
K
,
норма которых равна ±1.
Приложение. Алгебраические числовые поля                                     188

Требование конечномерности кольца ZK

      Свойство конечномерности идеалов кольца ZK является необходимым
условием для возможности разложения элементов ZK в произведение
простых элементов. Действительно, например, в кольце всех целых
алгебраических элементов, обладающем бесконечным базисом, разложение
на простые элементы невозможно, потому, что простых элементов нет.
                                                              √
Например, для любого целого алгебраического числа β число β1 = β
является снова целым алгебраическим числом, из которого опять можно
                              √
извлечь квадратный корень β2 = β1 , являющийся целым алгебраическим
числом, и т.д. Этот процесс можно продолжить до бесконечности.
      Важным следствием свойства конечномерности является конечность
любой последовательности расширяющихся идеалов:

Теорема А.4. В кольце ZK любая последовательность идеалов I0 ⊆ I1 ⊆
I2 ⊆ ..., начиная с некоторого номера, является тождественной.
                                          √
Например, в кольце ZK , где K = Q[ 5], можно построить цепочку
                                    √          √           √
расширяющихся идеалов (2) ⊂ (2, 5) ⊂ (1, 5) ⊂ ((1 + 5)/2, (1 −
√
  5)/2). Последним в этой цепочке указан полный базис (integral ba-
sis) кольца ZK , после которого цепочка расширяться больше не может.
                                            √                √
Докажем последнее. Произвольный элемент Q[ 5] имеет вид p + q 5.Его
минимальный многочлен имеет вид
           √            √
 (x − p + q 5)(x − p − q 5) = x2 − 2pt + (p2 − 5q 2 ).
          √
Если p + q 5 ∈ ZK , то коэффициенты −2p и p2 − 5q 2 должны быть целыми
числами. Отсюда, 2p = a, p2 − 5q 2 = m, где a, m ∈ Z . Если a–четно, то
p ∈ Z , 5q 2 ∈ Z , откуда, q ∈ Z . Если a–нечетно, то 20q 2 ∈ Z , откуда 2q ∈ Z .
                                                       √
Отсюда, произвольный элемент ZK имеет вид (a + b 5)/2, где a, b ∈ Z .

Однозначное разложение в кольцах

      Элемент e кольца ZK называется единицей, если он обратим, т.е.
существует e−1 ∈ ZK . Обратимыми являются в точности те элементы ZK ,
норма которых равна ±1.

Страницы