Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Приложение. Алгебраические числовые поля 189
Поскольку, если e– единица Z
K
, то для любого a ∈ Z
K
выполняется
ae = a, то однозначность разложения для элементов Z
K
возможно только
с точностью до умножения на единицы кольца Z
K
. Элементы a и b
называются ассоциированными, если a = be, где e–единица кольца Z
K
.
Определение А.13. Будем говорить, что в кольце C деление однозначно,
если в тех случаях, когда деление элементов кольца возможно, оно
однозначно. Иначе говоря, для любых a, b, c, d ∈ C , если выполняется
a = bc, a = bd, и b 6= 0, тогда элементы c и d ассоциированы c = ed.
Ранее на примере кольца Z[
√
−6] было показано, что отсутствие
неразложимых элементов, не являющихся простыми, является необходимым
условием однозначности разложения. Однако это условие является, в свою
очередь, и достаточным:
Теорема А.5. Область целостности R с конечным базисом и
однозначным делением является дедекиндовым кольцом тогда и только
тогда, когда каждый неразложимый элемент является простым.
Доказательство. Предположим, что каждый неразложимый элемент
R является простым. Наличие конечного базиса позволяет представить
произвольный элемент x ∈ R в виде
x = e
1
p
1
p
2
...p
k
,
где e–единица, а p
i
– неразложимые (и, значит, простые) элементы R.
Предположим, что такое представление не единственно:
x = e
1
p
1
p
2
...p
k
= e
2
q
1
q
2
...q
m
, (А.171)
Докажем индукцией по k , что k = m и каждый элемент p
i
ассоциируется с каким-нибудь элементом q
j
. При k = 0 утверждение
очевидно. При k > 0 имеем p
k
|q
1
q
2
...q
m
. В силу простоты p
k
найдется j
такое, что p
k
|q
j
, и p
k
= eq
j
. Сокращая (А.171) на p
k
, получим равенство,
e
1
p
1
p
2
...p
k−1
= e
2
q
1
...q
j−1
eq
j+1
...q
m
, (А.172)
Приложение. Алгебраические числовые поля                                              189

      Поскольку, если e– единица ZK , то для любого a ∈ ZK выполняется
ae = a, то однозначность разложения для элементов ZK возможно только
с точностью до умножения на единицы кольца ZK . Элементы a и b
называются ассоциированными, если a = be, где e–единица кольца ZK .

Определение А.13. Будем говорить, что в кольце C деление однозначно,
если в тех случаях, когда деление элементов кольца возможно, оно
однозначно. Иначе говоря, для любых a, b, c, d ∈ C , если выполняется
a = bc, a = bd, и b 6= 0, тогда элементы c и d ассоциированы c = ed.


                                √
      Ранее на примере кольца Z[ −6] было показано, что отсутствие
неразложимых элементов, не являющихся простыми, является необходимым
условием однозначности разложения. Однако это условие является, в свою
очередь, и достаточным:

Теорема А.5. Область             целостности             R   с   конечным   базисом    и
однозначным делением является дедекиндовым кольцом тогда и только
тогда, когда каждый неразложимый элемент является простым.

      Доказательство. Предположим, что каждый неразложимый элемент
R является простым. Наличие конечного базиса позволяет представить
произвольный элемент x ∈ R в виде

                x = e1 p1 p2 ...pk ,

где e–единица, а pi – неразложимые (и, значит, простые) элементы R .
Предположим, что такое представление не единственно:


                x = e1 p1 p2 ...pk = e2 q1 q2 ...qm ,                           (А.171)
      Докажем индукцией по k , что k = m и каждый элемент pi
ассоциируется с каким-нибудь элементом qj . При k = 0 утверждение
очевидно. При k > 0 имеем pk | q1 q2 ...qm . В силу простоты pk найдется j
такое, что pk | qj , и pk = eqj . Сокращая (А.171) на pk , получим равенство,

        e1 p1 p2 ...pk−1 = e2 q1 ...qj−1 eqj+1 ...qm ,                          (А.172)

Страницы