Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 189 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Приложение. Алгебраические числовые поля 190
для которого уже выполняется индукционное предположение. Теорема
доказана.
Отметим, что однозначность деления здесь была нужна, чтобы
выполнить сокращение.
Однозначность разложения идеалов в кольце Z
k
Пример неоднозначного разложения в кольце Z[
√
−6] показывает,
что не во всех алгебраических числовых полях выполняется однозначное
разложение на простые элементы. Выходом из этой проблемы является
предложение выполнять разложение не самих элементов, а идеалов,
порождаемых этими элементами.
Куммер предложил погрузить кольцо алгебраических элементов в
более широкое кольцо, элементы которого он назвал идеальными числами.
Дедекинд ввел понятие идеала.
Идея Куммера состояла в том, что если, например, элемент a
представим в виде a = p
1
· p
2
и a = q
1
· q
2
, то найдется расширение L
поля K , в кольце целых чисел которого, имеется разложение p
1
= b
1
· b
2
,
p
2
= b
3
· b
4
, q
1
= b
1
· b
3
, q
2
= b
2
· b
2
, тогда,
a = p
1
· p
2
= (p
1
p
2
) · (p
3
p
4
) = (p
1
p
3
) · (p
2
p
4
) = q
1
· q
2
.
Пример. В поле Q(
√
15) элемент 10 имеет два различных разложения:
10 = 2 · 5 = (5 +
√
15)(5 −
√
15).
Ясно, что элементы 2 и 5 не ассоциированы с элементами 5 ±
√
15.
Рассмотрим более широкое поле L = Q(
√
3,
√
5). В кольце целых чисел поля
L выполняется разложение:
10 = (
√
5)(
√
5)(
√
5 +
√
3)(
√
5 −
√
3). (А.173)
Дедекинд заметим, что разложение (А.173) выполняется уже в кольце
целых чисел Z
K
поля K , просто соответствующие идеалы не являются
главными (т.е. имеют более одного генератора), поэтому описать их в K
Приложение. Алгебраические числовые поля                                  190

для которого уже выполняется индукционное предположение. Теорема
доказана.
       Отметим, что однозначность деления здесь была нужна, чтобы
выполнить сокращение.

Однозначность разложения идеалов в кольце Zk
                                                  √
      Пример неоднозначного разложения в кольце Z[ −6] показывает,
что не во всех алгебраических числовых полях выполняется однозначное
разложение на простые элементы. Выходом из этой проблемы является
предложение выполнять разложение не самих элементов, а идеалов,
порождаемых этими элементами.
       Куммер предложил погрузить кольцо алгебраических элементов в
более широкое кольцо, элементы которого он назвал идеальными числами.
Дедекинд ввел понятие идеала.
       Идея Куммера состояла в том, что если, например, элемент a
представим в виде a = p1 · p2 и a = q1 · q2 , то найдется расширение L
поля K , в кольце целых чисел которого, имеется разложение p1 = b1 · b2 ,
p2 = b3 · b4 , q1 = b1 · b3 , q2 = b2 · b2 , тогда,

 a = p1 · p2 = (p1 p2 ) · (p3 p4 ) = (p1 p3 ) · (p2 p4 ) = q1 · q2 .
                 √
Пример. В поле Q( 15) элемент 10 имеет два различных разложения:
                          √             √
     10 = 2 · 5 = (5 +        15)(5 −       15).
                                                                 √
      Ясно, что элементы 2 и 5 не ассоциированы с элементами 5 ± 15.
                                     √ √
Рассмотрим более широкое поле L = Q( 3, 5). В кольце целых чисел поля
L выполняется разложение:
       √ √ √       √ √     √
 10 = ( 5)( 5)( 5 + 3)( 5 − 3).                                        (А.173)

       Дедекинд заметим, что разложение (А.173) выполняется уже в кольце
целых чисел ZK поля K , просто соответствующие идеалы не являются
главными (т.е. имеют более одного генератора), поэтому описать их в K

Страницы