Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Приложение. Алгебраические числовые поля 191
намного труднее. Действительно, Обозначим через I
1
− I
3
, полученные в
результате пересечения кольца Z
K
с идеалами (
√
5), (
√
5+
√
3) и (
√
5−
√
3).
Тогда, в Z
K
имеет место однозначное разложение на простые элементы:
10 = (I
1
)
2
· I
2
· I
3
, (А.174)
и все идеалы I
1
− I
3
являются нетривиальными и не главными.
Рассмотрим, например, идеал I
2
= Z
K
∩(
√
5+
√
3). Элементы
√
5(
√
5+
√
3) =
√
15+5 и
√
3(
√
5+
√
3) =
√
15+3 принадлежат I
2
. Также I
2
содержит
их разность
(
√
15 + 5) − (
√
15 + 3) = 2.
Если бы идеал I
2
был бы основным, то он имел бы вид (a + b
√
15), и
(2) ⊂ a + b
√
15, тогда норма 2, равная 4, должна делиться на норму ab
√
15,
равную a
2
−15b
2
. Поскольку идеал I
2
не тривиален, его норма не равна ±1,
значит,
a
2
− 15b
2
= ±2.
Находя остаток в этом равенстве по модулю 5, получим a
2
≡ ±2 ( mod
5), что невозможно.
Таким образом, можно раскладывать идеалы кольца Z
K
в
произведение простых идеалов, однако простые идеалы в этом разложении
не обязаны быть главными, а могут иметь два или более генератора.
Сформулируем это факт в виде следующей теоремы:
Теорема А.6. Кольцо Z
K
не является кольцом главных генераторов.
Наконец, сформулируем основной результат этого раздела - теорему
об однозначном разложении в кольце алгебраических целых чисел (теор.5.5
в [52]):
Теорема А.7. Каждый ненулевой идеал I кольца целых алгебраических
чисел Z
k
представим в виде произведения простых идеалов, и это
представление однозначно с точностью до порядка сомножителей.
Приложение. Алгебраические числовые поля                                           191

намного труднее. Действительно, Обозначим через I1 − I3 , полученные в
                                             √     √ √        √ √
результате пересечения кольца ZK с идеалами ( 5), ( 5+ 3) и ( 5− 3).
Тогда, в ZK имеет место однозначное разложение на простые элементы:

           10 = (I1 )2 · I2 · I3 ,                                            (А.174)

и все идеалы I1 − I3 являются нетривиальными и не главными.
                                             √ √             √ √
       Рассмотрим, например, идеал I2 = ZK ∩( 5+ 3). Элементы 5( 5+
√      √        √ √ √          √
  3) = 15+5 и 3( 5+ 3) = 15+3 принадлежат I2 . Также I2 содержит
их разность
                √           √
               ( 15 + 5) − ( 15 + 3) = 2.
                                                                 √
       Если бы идеал I2 был бы основным, то он имел бы вид (a + b 15), и
           √                                                        √
(2) ⊂ a + b 15, тогда норма 2, равная 4, должна делиться на норму ab 15,
равную a2 − 15b2 . Поскольку идеал I2 не тривиален, его норма не равна ±1,
значит,
                 a2 − 15b2 = ±2.

       Находя остаток в этом равенстве по модулю 5, получим a2 ≡ ±2 ( mod
5), что невозможно.
       Таким        образом,         можно   раскладывать   идеалы   кольца   ZK     в
произведение простых идеалов, однако простые идеалы в этом разложении
не обязаны быть главными, а могут иметь два или более генератора.
       Сформулируем это факт в виде следующей теоремы:

Теорема А.6. Кольцо ZK не является кольцом главных генераторов.

       Наконец, сформулируем основной результат этого раздела - теорему
об однозначном разложении в кольце алгебраических целых чисел (теор.5.5
в [52]):

Теорема А.7. Каждый ненулевой идеал I кольца целых алгебраических
чисел Zk представим в виде произведения простых идеалов, и это
представление однозначно с точностью до порядка сомножителей.

Страницы