Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 186 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Приложение. Алгебраические числовые поля 187
многочлена. Однако, кольцо Z[α] не является цельнозамкнутым
(см.refClosedRing), что является необходимым условием однозначной
разложимости. Поэтому вместо кольца Z[α] рассматривается его
алгебраическое целое замыкание Z
K
⊇ Z[α], для которого и строится
теория делимости.
Простые и неразложимые элементы
В кольце целых чисел понятия простоты и неразложимости являлись
эквивалентными. Действительно, натуральное число p является простым,
если оно удовлетворяет любому из следующих двух свойств:
1. Неразложимость: Если p = a · b, то либо a = ±1, либо b = ±1,
2. Простота: Если a ·b делится на p, то либо a делится на p,
либо b делится на p.
В кольцах более общего вида эти свойства – не эквивалентны. Свойство
простоты является более общим, и из него можно вывести неразложимость.
Обратное не всегда верно. Действительно, рассмотрим кольцо Z[
√
−6]. В
нем число 6 имеет два различных представления 6 = 2 · 3, и 6 =
√
−6 ·
√
−6. Нетрудно проверить, что все три элемента 2, 3, и
√
−6 неразложимы
в кольце Z[
√
−6], однако, свойство простоты не выполнено: произведение 2·3
делится на
√
−6, но ни один из сомножителей 2, 3 не делится на
√
−6.
Пока эта неэквивалентность не была замечена и точно
сформулирована в 1844 г. Эйзенштейном, многие ранние доказательства
относительно делимости элементов в кольцах были неверными. Этой ошибки
не избежали даже крупные математики такие как, например, Л.Эйлер.
Некоторые из его доказательств о единственности разложений оказались
неверными. С другой стороны, Гаусс сумел избежать этой ошибки, приведя
строгое доказательство однозначности разложения в кольце целых гауссовых
чисел Z[i].
Приложение. Алгебраические числовые поля                                187

многочлена.   Однако,     кольцо   Z[α]   не   является   цельнозамкнутым
(см.refClosedRing), что является необходимым условием однозначной
разложимости.   Поэтому     вместо   кольца    Z[α]   рассматривается   его
алгебраическое целое замыкание ZK ⊇ Z[α], для которого и строится
теория делимости.

Простые и неразложимые элементы

В кольце целых чисел понятия простоты и неразложимости являлись
эквивалентными. Действительно, натуральное число p является простым,
если оно удовлетворяет любому из следующих двух свойств:

  1. Неразложимость: Если p = a · b, то либо a = ±1, либо b = ±1,
  2. Простота: Если a · b делится на p, то либо a делится на p,
   либо b делится на p.

      В кольцах более общего вида эти свойства – не эквивалентны. Свойство
простоты является более общим, и из него можно вывести неразложимость.
                                                                 √
Обратное не всегда верно. Действительно, рассмотрим кольцо Z[ −6]. В
                                                                   √
нем число 6 имеет два различных представления 6 = 2 · 3, и 6 = −6 ·
√                                                     √
  −6. Нетрудно проверить, что все три элемента 2, 3, и −6 неразложимы
           √
в кольце Z[ −6], однако, свойство простоты не выполнено: произведение 2·3
           √                                                    √
делится на −6, но ни один из сомножителей 2, 3 не делится на −6.
      Пока    эта   неэквивалентность     не   была   замечена    и   точно
сформулирована в 1844 г. Эйзенштейном, многие ранние доказательства
относительно делимости элементов в кольцах были неверными. Этой ошибки
не избежали даже крупные математики такие как, например, Л.Эйлер.
Некоторые из его доказательств о единственности разложений оказались
неверными. С другой стороны, Гаусс сумел избежать этой ошибки, приведя
строгое доказательство однозначности разложения в кольце целых гауссовых
чисел Z[i].

Страницы