Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Приложение. Алгебраические числовые поля 178
Модули над кольцом
Определение А.4. Модулем M над кольцом R называется абелева группа
с операцией умножения на элементы кольца R: R × M → M , которая
удовлетворяет следующим условиям:
1. ∀m ∈ M, ∀r
1
, r
2
∈ R, (r
1
r
2
)m = r
1
(r
2
),
2. ∃1 ∈ M, ∀m ∈ M 1 · m = m ·1 = m,
3. ∀m
1
, m
2
∈ M, ∀r ∈ R, r(m
1
+ m
2
) = rm
1
+ rm
2
,
4. ∀m ∈ M, ∀r
1
, r
2
∈ R, (r
1
+ r
2
)m = r
1
m + r
2
m.
Любое кольцо можно рассматривать как модуль над самим собой.
Другим важным примером модуля является модуль Z[x] многочленов над
кольцом Z .
Модуль M над кольцом R называется конечнопорожденным, если
найдется конечная совокупность элементов a
1
, a
2
, ..., a
k
∈ M такая, что
любой элемент x модуля M можно представить в виде линейной комбинации
x = c
1
·a
1
+ c
2
·a
2
, ..., c
k
·a
k
для некоторых c
i
∈ R. Если при этом элементы
a
1
, a
2
, ..., a
k
линейно независимы (т.е. никакая их линейная комбинация с
коэффициентами из R, среди которых есть хотя-бы один ненулевой элемент,
не равна 0), то это множество называется базисом модуля M . Число
элементов базиса называется размерностью модуля.
Примеры. 1. Кольцо Z[θ], где θ – алгебраический элемент над
Q, является конечным модулем с размерностью, равной степени d
алгебраического элемента и базисом 1, θ, θ
2
, ... θ
d−1
.
2. Гауссовым кольцом называется кольцо Z[i], состоящее из элементов
вида a + bi, где i =
√
−1–мнимая единица, a, b ∈ Z. Минимальный
многочлен для i, равный x
2
+ 1, имеет степень 2. Любой модуль в этом
кольце конечнопорожден и имеет размерность, не превышающую степень
минимального многочлена =2. Примером произвольного модуля в Z[i]
является модуль (3, 2i), состоящий из чисел вида a + bi, где a кратно 3,
а b–четно.
Приложение. Алгебраические числовые поля                                      178

     Модули над кольцом

Определение А.4. Модулем M над кольцом R называется абелева группа
с операцией умножения на элементы кольца R : R × M → M , которая
удовлетворяет следующим условиям:

  1. ∀m ∈ M, ∀r1 , r2 ∈ R, (r1 r2 )m = r1 (r2 ),

  2. ∃1 ∈ M, ∀m ∈ M 1 · m = m · 1 = m,

  3. ∀m1 , m2 ∈ M, ∀r ∈ R, r(m1 + m2 ) = rm1 + rm2 ,

  4. ∀m ∈ M, ∀r1 , r2 ∈ R, (r1 + r2 )m = r1 m + r2 m.

      Любое кольцо можно рассматривать как модуль над самим собой.
Другим важным примером модуля является модуль Z[x] многочленов над
кольцом Z .
      Модуль M над кольцом R называется конечнопорожденным, если
найдется конечная совокупность элементов a1 , a2 , ..., ak ∈ M такая, что
любой элемент x модуля M можно представить в виде линейной комбинации
x = c1 · a1 + c2 · a2 , ..., ck · ak для некоторых ci ∈ R . Если при этом элементы
a1 , a2 , ..., ak линейно независимы (т.е. никакая их линейная комбинация с
коэффициентами из R , среди которых есть хотя-бы один ненулевой элемент,
не равна 0), то это множество называется базисом модуля M . Число
элементов базиса называется размерностью модуля.
      Примеры. 1. Кольцо Z[θ], где θ – алгебраический элемент над
Q, является конечным модулем с размерностью, равной степени d
алгебраического элемента и базисом 1, θ, θ2 , ... θd−1 .
     2. Гауссовым кольцом называется кольцо Z[i], состоящее из элементов
                       √
вида a + bi, где i =     −1–мнимая единица, a, b ∈ Z. Минимальный
многочлен для i, равный x2 + 1, имеет степень 2. Любой модуль в этом
кольце конечнопорожден и имеет размерность, не превышающую степень
минимального многочлена =2. Примером произвольного модуля в Z[i]
является модуль (3, 2i), состоящий из чисел вида a + bi, где a кратно 3,
а b–четно.

Страницы