Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 45 стр.

                                                                      46

      Доказательство. Пусть n = t·u, где u–нечетно. Используя формулу
(1.2) при x = at , получим

              an + 1 = xu + 1 = (x + 1)(xt−1 − xt−2 + ... − x + 1)

где первый множитель x + 1 = at + 1 является нетривиальным делителем
an + 1. Теорема доказана.

Числа Ферма

                           n
      Числа вида Fn = 22 + 1 впервые начал изучать Пьер Ферма, поэтому
эти числа называются числами Ферма. Он высказал гипотезу, что все эти
числа являются простыми, но не смог ни доказать, ни опровергнуть это
утверждение. Первые 5 чисел Ферма действительно являются простыми:
F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537.
      Гипотеза Ферма о простоте чисел Fn была отвергнута в 1732 г. другим
выдающимся математиком Леонардом Эйлером (1707–1783) , который нашел
разложение шестого числа Ферма:
                      5
                    22 + 1 = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417

      Леонард Эйлер, швейцарец по происхождению, был блестящим
ученым, написавшим за свою жизнь более 800 сочинений В возрасте 20
лет он переехал из Швейцарии в Россию, куда был приглашен Петром
I в период организации Российской академии наук, где и прожил почти
всю свою жизнь (за исключением периода с 1741 г. по 1766 г., когда он
жил и работал в Пруссии, в Берлине). С 1766 г. до своей смерти в 1783
г. он жил в Санкт-Петербурге, имел 13 детей (выжило 5), младший сын
Кристоф был военным артиллеристом, подполковником прусской армии,
после возвращения Эйлера в Россию, некоторое время служил в прусской
армии, но потом по просьбе Екатерины II был принят в русскую армию, в
которой дослужился до генерал-лейтенанта, был командиром Сестрорецкого
оружейного завода. Много потомков Эйлера живет и работает в России в
наше время.