Методы факторизации натуральных чисел. Ишмухаметов Ш.Т. - 44 стр.

                                                                       45

в 130 страниц. Первой шла статья Уайлса «Modular elliptic curves and
Fermat’s Last Theorem», поступившая в редакцию 14 октября 1994 г., второй
– совместная статья Уайлса и Тэйлора «Ring-theoretic properties of certain
Hecke algebras», поступившая в редакцию 7 октября 1994 г. В совокупности
они давали доказательство гипотезы Таниямы–Симуры–Вейля, из которого
следует доказательство Великой теоремы Ферма. Так счастливо завершилась
357-летняя история Великой теоремы Ферма. 27 октября 1995 г. Уайлс был
награжден призом Ферма в Тулузе, посетил городок Бомон-де-Ломань,
где родился Ферма, и его могилу, на надгробии которой высечена в виде
формулы великая теорема Ферма. Так как условия конкурса на премию
Вольфскеля были выполнены Уайлсом полностью, то он через два года после
публикации – 27 июня 1997 г. получил награду. К этому времени Королевское
научное общество было переименовано в Геттингенскую академию наук, а
премия составила 75000 немецких марок.


1.19. Числа Ферма, Мерсенна и Кармайкла
      В истории развития методов факторизации важную роль сыграли
числа специальной формы, на которых испытывались те или алгоритмы
проверки простоты и факторизации. Среди этих чисел в первую очередь
надо выделить числа вида an ± 1. Прежде, чем рассматривать эти числа,
напомним формулу геометрической прогрессии:

                xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + ... + x + 1)

Если n–нечетно, то, заменяя x на −x и умножая все равенство на −1,
получим следующую формулу:

                xn + 1 = (x + 1)(xn−1 − xn−2 + ... − x + 1)         (1.19)

      Справедлива следующая теорема:

Теорема 1.9. Если a, n–целые числа, причем a–четно, n ≥ 2, тогда

an +1 –простое число → n = 2k для целого числа k.