Физика. Электромагнитные колебания. Квантовая теория излучения. Иваницкая Ж.Ф. - 111 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

111
T
R
3
4
T
2
4
2
hc
k
π
= dx
e
x
x
∫
∞
−
0
3
1
4
T
σ
= ,
т. к.
,56,6
1
0
3
=
−
∫
∞
x
e
x
а .
2
56,6
32
4
hc
k
π
σ
⋅=
T
При этом расчетная σ сов-
падает с экспериментальной.
3. Вывод закона смещения Вина
Чтобы найти длину волны, на которую приходится макси-
мум спектральной плотности лучеиспускательной способно-
сти, необходимо исследовать функцию
r
,
λ
на экстремум.
Вначале учтем, что
ν
= с/
λ
; после подстановки его в урав-
нение (4) получим значение
T
r
,
λ
5
2
2
λ
π
hc
=
.
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅
kT
hc
e
λ
(5)
Введя замену переменных х = hc/
λ
kT, получим:
Tx
r
,
⋅=
34
555
2
ch
xTk
π
)1(
1
−
x
e
,
)1(
5
−
=
x
e
Аx
./
3455
chTk
(6)
где А = 2
π
Исследуем эту функцию на экстремум:
(
)
()
;0
0
,
=
=xx
Tx
dx
dr
dx
dr
Tx,
0
5
4
==
x
xx
e
eeАx
.
0
xx =
.0)1
00
0
=−−
xx
exe
1
1
2
5
−
−− Аx
при
Здесь достаточно, чтобы числитель равнялся нулю:
(5 (7)
Полученное трансцендентное уравнение можно решить
приближенно. Так как значению x
0
соответствует длина вол-
ны λ
0
, на которую приходится максимум спектральной плот-
ности лучеиспускательной способности
(
)
,/
00
kThcx
λ
=
то для 
                                                      ∞
                                          2πk 4T 4 x 3
                                 RT =       2 3    x
                                           c h 0 e −1 ∫dx = σT 4,

        ∞
           x3                        2πk 4
т. к.   ∫
        0
          ex −1
                = 6,56, а σ = 6,56 ⋅
                                     c 2 h3
                                            . При этом расчетная σ сов-

падает с экспериментальной.
     3. Вывод закона смещения Вина
     Чтобы найти длину волны, на которую приходится макси-
мум спектральной плотности лучеиспускательной способно-
сти, необходимо исследовать функцию rλ ,T на экстремум.
    Вначале учтем, что ν = с/λ; после подстановки его в урав-
нение (4) получим значение
                                               2πhc 2                 1
                                  rλ ,T =                   ⋅                        .                      (5)
                                                λ 5
                                                                ⎛ hc             ⎞
                                                                ⎜ e λkT       − 1⎟
                                                                ⎜                ⎟
                                                                ⎝                ⎠
        Введя замену переменных х = hc/λkT, получим:
                                    2πk 5T 5 x 5       1       Аx 5
                          rx ,T =                ⋅          =          ,                                    (6)
                                      h 4c3        (e x − 1) (e x − 1)

где А = 2π k 5T 5 / h 4 c 3 .
    Исследуем эту функцию на экстремум:
        drx ,T
                          = 0;
                                 drx ,T
                                           =
                                                        (             )
                                               5 Аx 4 e x − 1 − Аx 5 e x
                                                                                         = 0 при x = x0 .
            dx   x = x0
                                    dx                      (e   x
                                                                     −1   )
                                                                          2



        Здесь достаточно, чтобы числитель равнялся нулю:
                                     5(e x0 − 1) − x0 e x0 = 0.                                             (7)
    Полученное трансцендентное уравнение можно решить
приближенно. Так как значению x0 соответствует длина вол-
ны λ0, на которую приходится максимум спектральной плот-
ности лучеиспускательной способности (x0 = hc / λ0 kT ), то для

                                                      111

Страницы