Физика. Электромагнитные колебания. Квантовая теория излучения. Иваницкая Ж.Ф. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КамчатГТУ | Петропавловск-Камчатский

Составители: 

Рубрика: 

48
cos
0
t
В контуре действуют две электродвижущие силы: вынуж-
дающая
)(
ω
ε
ε
=
и ЭДС самоиндукции
)
,
(
dt
d
I
Lε
si
−=
поэто-
му сумма ЭДС выражается уравнением
.
∑
dt
dI
Lωtε
−= cos
0
ε
k
Правая часть уравнения (5) состоит из падения напряжения
на конденсаторе
)(
C
q
U
C
= ).( IRU
R
и на сопротивлении
=
Подставляя эти значения в уравнение (5), имеем:
IR.
C
q
dt
dI
Lωt
+=−
ε cos
0
(6)
Так как сила тока
,
dt
dq
I = а ,
2
2
dt
qd
dt
dI
= то подстановка
в уравнение (6) дает дифференциальное уравнение для вынуж-
денных колебаний заряда:
.cos
0
ωtε
C
q
dt
dq
=+
,
неодноднобщее
qq
2
2
R
dt
qd
L + (7)
Это неоднородное уравнение второго порядка, решение
которого q
общее
состоит из суммы для решений однородного и
неоднородного уравнений:
q
+
=
(8)
).cos()
2
δω
+tt
L
R
exp(= qq
mодн
− (9)
п
Это решение для затухающих колеба-
ний, роисходящих с частотой
,
22
0
γωω −= (которая меньше собст-
венной частоты
ω
0
), где
L
R
γ
2
= – ко-
эффициент затухания;
)
2
exp( t
L
R
q
m
−
–
амплитуда затухающих колебаний, уменьшающаяся со време-
нем по экспоненциальному закону;
δ
– их начальная фаза.
q
∆
A
Р
ис. 1
    В контуре действуют две электродвижущие силы: вынуж-
                                                       dI
дающая (ε = ε 0 cos ωt ) и ЭДС самоиндукции (ε si = − L ), поэто-
                                                       dt
                                                            dI
му сумма ЭДС выражается уравнением ∑ ε k = ε0 cos ωt − L .
                                                            dt
    Правая часть уравнения (5) состоит из падения напряжения
                           q
на конденсаторе (U C = ) и на сопротивлении (U R = IR).
                          C
    Подставляя эти значения в уравнение (5), имеем:
                                      dI q
                      ε0 cos ωt − L     = + IR.                  (6)
                                      dt C
                           dq     dI d 2 q
    Так как сила тока I =     , а   =      , то подстановка
                           dt     dt dt 2
в уравнение (6) дает дифференциальное уравнение для вынуж-
денных колебаний заряда:
                      d 2q    dq q
                  L      2
                           +R   + = ε0 cos ωt.                   (7)
                      dt      dt C
    Это неоднородное уравнение второго порядка, решение
которого qобщее состоит из суммы для решений однородного и
неоднородного уравнений:
                         qобщее = qодн + qнеодн ,                (8)

                                      R
                 qодн = qm exp(−         t ) cos(ωt + δ ).       (9)
                                      2L
Это решение для затухающих колеба-                q
ний, происходящих с частотой                      A
ω = ω02 − γ 2 , (которая меньше собст-
                                                             t
                            R
венной частоты ω0), где γ =     – ко-
                            2L                     ∆t
                               R
эффициент затухания; qm exp(−     t) –      Рис. 1
                               2L
амплитуда затухающих колебаний, уменьшающаяся со време-
нем по экспоненциальному закону; δ – их начальная фаза.
                                  48

Страницы