Компьютерное моделирование в стохастических задачах хрупкого разрушения. Иванищева О.И. - 23 стр.

                                                     23

задача Гриффитса        о         трещине отрыва в неограниченной среде
при условиях плоской деформации (рис. 5.1.1). Трещина длиной 2l
представлена в виде плоского математического разреза. На бесконечности
заданы номинальные напряжения σ, нормальные к плоскости трещины.
Материал подчиняется закону Гука с модулем упругости Е и
коэффициентом Пуассона ν. Для того чтобы размер трещины l увеличился
на dl, необходимо затратить работу, значение которой пропорционально dl.
Гриффитс связывал эту работу с энергией поверхностных сил. В
действительности основная часть работы затрачивается на      пластическое
деформирование и другие необратимые явления. Все эти факторы учитыва-
ются в виде удельной работы разрушения γ, отнесенной к единице площади
вновь образованной трещины. Удельная работа γ имеет размерность Дж/м2 =
Н/м. Для конструкционных материалов удобна единица измерения кДж/м2 =
кН/м. Согласно энергетической концепции Гриффитса, трещина не растет,
если значение потенциальной энергии системы П, высвобождаемой при
продвижении фронта трещины на dI, меньше работы разрушения, т.е.
−d Π <γ ⋅ dl . При −d Π >γ ⋅ dl значение высвобождаемой энергии превышает
работу разрушения, причем за счет избыточной энергии этот рост может
оказаться динамическим. После вычислений найдем

                          dΠ   πσ 3l (1 −ν 2 )
                             =−                .                    (5.1.1)
                          dl          E


  Если это выражение подставить в условие −d Π =γ ⋅ dl , то      придем к
формуле Гриффитса для критического напряжения


                                                    1/ 2
                              �       γ⋅E �
                        σ c =�             2�
                                                           .      (5.1.2)
                                � π l (1 −ν � )

  Альтернативный подход к механике тел с трещинами был предложен Ир-
вином (1954 г.). Поле напряжений в окрестности математического разреза в
линейно-упругом теле имеет особенность типа квадратного корня. Если
процесс разрушения носит локальный характер, то он должен в первую
очередь зависеть от распределения напряжений в окрестности фронта
трещины. Сингулярные члены в формулах для напряжений имеют вид

                                   K
              σ jk ( r ,θ ) =               f jk ( r ,θ ) ,        (5.1.3)
                                (2π r )1/ 2

  где r -полярный радиус; θ - полярный угол; индексы j,k принимают
значения х, у, z (см. рис. 5.1). Параметр K - это коэффициент интенсивности
напряжений, который в задаче Гриффитса определяется так: