Макроскопические свойства микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
выражения для математического ожидания компонент вектора потока тепла и
уравнение теплопроводности относительно флуктуаций температуры имеют
вид
j,
0
j,j
aaq ΘΘ ⋅−⋅−=
.))(a(a
k,
0
k,k,
00
kk,
ΘΘΘ +−=⋅ (3.1)
Введем корреляционные функции
)y(S)x(a)yx(
00
=⋅+Θ
)y(K)x(a)yx(a
00
=⋅+ , (3.2)
которые в силу однородности рассматриваемых случайных полей зависят
только от разности координат двух точек
y
. Первое из уравнений (3.1) при
этом можно записать в виде
).0(Saq
ijj,j
−⋅−= Θ (3.3)
Умножим второе из уравнений (3.1), взятое в точке
x
, на )yx(x
0
+ и
проведем статистическое осреднение. Пренебрегая моментами третьего
порядка, т.е. ограничиваясь корреляционным приближением , получаем
дифференциальное уравнение относительно функции
(
)
yS
k,kk,kk,
KSa Θ ⋅−=⋅ (3.4)
Поскольку корреляционные связи между рассматриваемыми случайными
функциями , взятыми в различных точках , убывают с увеличением расстояния
между ними , то функции
0
)
x
(
K
),
x
(
→
при
∞
→
x
.
Таким образом, для определения макроскопических коэффициентов
теплопроводности необходимо найти решение уравнения (3.4) при нулевых
условиях на бесконечности и подставить его в (3.3).
В случае слоистой структуры материала, когда коэффициент
теплопроводности является случайной функцией одной переменной,
корреляционные функции
)
x
(
K
),
x
(
будут зависеть только от
координаты
3
y . Выражение (3.3) примет вид
3j3,
j,
j
)0(Saq δΘ ⋅−−=
, (3.5)
а дифференциальное уравнение (3.4) становится обыкновенным
3,3,33,
KSa Θ−= . (3.6)
Интегрируя его, находим 
                                           9
выражения для математического ожидания компонент вектора потока тепла и
уравнение теплопроводности относительно флуктуаций температуры имеют
вид
                  q j =− a ⋅ Θ , j − a 0 ⋅Θ , j
                a ⋅Θ ,0kk =−( a 0 ( Θ ,k +Θ ,0k )),k .               (3.1)
    Введем корреляционные функции
                     Θ 0 ( x + y ) ⋅ a 0 ( x ) =S ( y )


                      a 0 ( x + y ) ⋅ a 0 ( x ) =K ( y ) ,           (3.2)
которые в силу однородности рассматриваемых случайных полей зависят
только от разности координат двух точек y . Первое из уравнений (3.1) при
этом можно записать в виде

                    q j =− a ⋅ Θ , j −S ij ( 0 ).                    (3.3)

                                                                0
    Умножим второе из уравнений (3.1), взятое в точке x , на x ( x + y ) и
проведем статистическое осреднение. Пренебрегая моментами третьего
порядка, т.е. ограничиваясь корреляционным приближением, получаем
дифференциальное уравнение относительно функции S ( y )
                     a ⋅ S ,kk =−K ,kk ⋅ Θ ,k                        (3.4)
    Поскольку корреляционные связи между рассматриваемыми случайными
функциями, взятыми в различных точках, убывают с увеличением расстояния
между ними, то функции S ( x ), K ( x ) → 0 при x → ∞ .
    Таким образом, для определения макроскопических коэффициентов
теплопроводности необходимо найти решение уравнения (3.4) при нулевых
условиях на бесконечности и подставить его в (3.3).
    В случае слоистой структуры материала, когда коэффициент
теплопроводности является случайной функцией одной переменной,
корреляционные функции         S ( x ), K ( x ) будут зависеть только от
координаты y 3 . Выражение (3.3) примет вид
                         q j =− a Θ , j −S ,3 ( 0 ) ⋅ δ j 3 ,        (3.5)

а дифференциальное уравнение (3.4) становится обыкновенным

                         a S ,33 =−K ,3 Θ ,3       .                 (3.6)
    Интегрируя его, находим

Страницы