ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
36
()
(,)
,
ij
ij
xxVxV
θθ
′′
∂=∂∈∈
. (3.2.5)
Предположим, что градиенты температуры являются постоянными
величинами для каждого из компонентов , т.е. вместо (3.2.5) рассмотрим
приближенное равенство
(
)
(
)
(
)
,,
()
ijij
i
i
xxV
θθθθ
′′
∂≈∂⇒∂≈∂∈
(3.2.6)
Условные вероятности
ij
p
связаны соотношениями
2
,
1
1,
ijiijjji
j
pcpcp
⋅
=
=⋅=⋅
∑
которые позволяют выразить вероятность
12
p
через
11
p
. При этом
интегральное уравнение (3.2.4) сводится к линейному алгебраическому
() ()()
(
)
(
)
()()
()
()
112
21
12
3
2111
2
;
;
paaa
acacaa
K
accapp
c
θθθθ
′
∂=∂+⋅⋅∂−−⋅∂
′
=⋅+−⇒
′
=−⋅=∗
(3.2.7)
Решение (3.2.7) представим в виде
()()
(
)
()
1
13
2
;
IcRRIpap
θλθ
−
′
∂=+∂=−⋅⋅
, (3.2.8)
где
I
- единичный тензор второго ранга.
С учетом (3.2.8) из уравнения для среднего теплового потока (3.1.6)
получим
(
)
(2)(3)(3)
12
qacaIcRa
θθ
=∂+⋅⋅+⋅∂
.
Отсюда следует
(
)
(3)(3)
12
qaccaRa
θ
=+⋅∂
(3.2.9)
Таким образом, тензор макроскопических коэффициентов теплопроводности
можно представить в виде
(3)(3)
12
aaccaRa
∗
=+
(3.2.10)
Для выполнения конкретных расчетов необходимо найти явный вид тензора R.
Для этого найдем сначала функцию Грина G уравнений (3.2.2) при условии,
36
∂θ (i , j ) = ∂θ ( x′ ) x′ ∈Vi , x ∈V j
. (3.2.5)
Предположим, что градиенты температуры являются постоянными
величинами для каждого из компонентов, т.е. вместо (3.2.5) рассмотрим
приближенное равенство
∂θ (
i, j )
≈∂θ (i ) ⇒ ∂θ (
i, j )
≈ ∂θ ( x′ ) x′ ∈Vi (3.2.6)
Условные вероятности p ij связаны соотношениями
2
∑p
j =1
ij =1, ci ⋅ pij =c j⋅ ⋅ p ji ,
которые позволяют выразить вероятность p12 через p11 . При этом
интегральное уравнение (3.2.4) сводится к линейному алгебраическому
(
∂θ (1) = ∂θ +p ⋅ a′ ⋅∂θ (1) − a (2) − a ⋅ ∂θ ; ( ) )
a′ =c1 ⋅ a ( ) +c2 a ( ) − a ⇒
2 1
(3.2.7)
a′ =(c 2 −c1 ) ⋅ a ; (3) K
p = ∗p11
c2
Решение (3.2.7) представим в виде
1
(
∂θ ( ) = I +c2 Rλ (
3)
) ∂θ ; R =( I −p ⋅ a′ ) −1
⋅p, (3.2.8)
где I - единичный тензор второго ранга.
С учетом (3.2.8) из уравнения для среднего теплового потока (3.1.6)
получим
q =a (2) ∂θ +c1 ⋅ a (3) ⋅( I +c2 Ra (3) ) ⋅ ∂θ .
Отсюда следует
q =( a + c1c 2 a (3)
Ra
(3.2.9)
(3)
)⋅ ∂θ
Таким образом, тензор макроскопических коэффициентов теплопроводности
можно представить в виде
a ∗ = a +c1c2 a (3) Ra (3)
(3.2.10)
Для выполнения конкретных расчетов необходимо найти явный вид тензора R.
Для этого найдем сначала функцию Грина G уравнений (3.2.2) при условии,
