Стохастические модели микронеоднородных материалов. Иванищева О.И - 35 стр.

                                              35

использованы только в случае малых флуктуаций коэффициента a или малых
различий концентраций (c1 ≈c 2 ).
3.2 Коэффициенты теплопроводности материалов с анизотропными
компонентами

 Рассмотрим однонаправленный волокнистый композиционный материал,
компоненты которого обладают осевой симметрией свойств теплопроводности,
т. е. тензор a в произвольной точке объема композиционного материала имеет
вид
                            (                  )
              a jk =a1 ⋅ δ i1⋅δ j1 +δ i 2⋅δ j 2 +a3 ⋅δi 3 ⋅δ j 3 (3.2.1)
 Рассмотрим случай, когда оси симметрии тензоров теплопроводности волокон
и связующего совпадают с направлением волокон, ориентированных вдоль
координатной оси x3 .
 Уравнение теплопроводности (3.1.7) запишем в следующей форме

                       ∂ a ∂Θ 0 =−∂a 0 ∂Θ .                      (3.2.2)
Если воспользоваться функцией Грина G уравнения (3.2.2) и предположением
о малости флуктуаций температуры на бесконечности, то (3.2.2) можно
представить в виде
                         ∂Θ = ∂Θ +∂G ∗a 0 ∗∂Θ                             (3.2.3)
или
                         ∂Θ = ∂Θ +K ∗a 0∂Θ
Здесь символом ∗обозначена        операция интегральной свертки; ядро
интегрального оператора оператора К выражается через производные функции
Грина

                                                                 ′
K jm ∗ϕ =∫G, jm ( x −x′) ⋅ϕ( x′) ⋅ dv′ +�
                                        ∫G ,j ( x −x ′ ) ⋅ cos( n , xm ) ⋅ dS ′ ;

n - нормаль к поверхности S , ограничивающей обьем V.
  Проведем осреднение в обеих частях (3.2.3) при условии , что текущая
координата x принадлежит объему, занимаемому волокнами. В результате
получим
           ∂θ(1) = ∂θ +K ∗((a(1) − a ) ⋅∂θ(1,1) p11 +
           +(a(2) − a ) ⋅∂θ(2,1) p12 )                                    (3.2.4)

Здесь   pi , j - вероятность события x′ ∈VJ   при условии, что x ∈V i .
               (i. j )
Символами ∂θ             обозначены условные моментные функции градиентов
температуры