Теория волн. Иванов В.Б. - 125 стр.

                                  Теория волн

                                    ω2
                       ∇ 2U = −           n 2 ( r )U .                     (6.15)
                                    с02
    В однородной среде, где показатель преломления не
зависит от координат, решение последнего уравнения
может быть представлено в виде плоской волны:

                        U = U 0 exp( −i k r ),                             (6.16)

где U0 и k = ω/c0 – постоянные величины. В неоднородной
среде, по аналогии, попробуем искать решение уравнения
(6.15) в виде:
                                          ω           
                        U = U 0 ( r ) exp − i ψ ( r ) .                  (6.17)
                                             с        
    (Здесь и далее индекс 0 у скорости света писать не
будем.) Итак, амплитуду будем считать функцией от коор-
динат, а в фазовом множителе вместо r записываем неко-
торую функцию координат ψ, называемую эйконалом.
Подстановка (6.17) в уравнение Гельмгольца приведет нас
к уравнению:

               ω              ω                ω2
 ∇ 2U 0 − 2i       ∇ψ∇U 0 −       U 0∇ 2ψ +          [ε − (∇ψ ) 2 ]U 0 = 0. (6.18)
               с              с                 с2
     Амплитуду будем считать медленно меняющейся
функцией координат в том смысле, что на длине волны λ =
ω/c величина U0 изменяется несущественно. Значитель-
ные изменения амплитуда претерпевает на масштабе L,
на котором существенно меняются и свойства самой сре-
ды распространения. В однородной среде эйконал пред-
ставляет собой просто координату так, что градиент эйко-
нала ∇ψ – постоянная величина. В приближении геометри-
ческой оптики для неоднородной среды градиент эйкона-
ла также считается слабо меняющейся функцией коорди-


                                      125