Теория волн. Иванов В.Б. - 126 стр.

                           В. Б. Иванов

нат, то есть характерный масштаб изменений градиента
эйконала также составляет L.
     Основным условием применимости приближения гео-
метрической оптики является условие слабой неоднород-
ности L >> λ. Свойства среды распространения волн
должны мало изменяться на длине волны. Тогда справед-
ливы следующие оценки по порядку величины простран-
ственных производных амплитуды и градиента эйконала:
                    ∇U 0 ≈ U 0 / L,
                    ∇ 2U 0 ≈ U 0 / L2 ,                      (6.19)
                    ∇ 2ψ ≈ ∇ψ / L.
    Умножим уравнение (6.18) на с2/ω2 = λ2/4π2:

 λ2 2        λ             λ
     ∇ U0 −    2i∇ψ∇U 0 −    iU 0∇ 2ψ + [ε − (∇ψ ) 2 ]U 0 = 0. (6.20)
4π 2
            2π            2π
    С учетом оценок (6.19) можно видеть, что в последнем
уравнении первое слагаемое имеет второй порядок мало-
сти по величине λ/L, два следующих слагаемых – величи-
ны первого порядка малости, а последний член имеет ну-
левой порядок малости. Тогда первое слагаемое вообще не
рассматривается, а члены первого и второго порядка по
отдельности приравниваются к нулю, откуда получаем два
уравнения:

                    [ε − (∇ψ ) 2 ]U 0 = 0.                   (6.21)

                                U0 2
                    ∇ψ∇U 0 +      ∇ ψ = 0.                   (6.22)
                                2
    Из (6.21) следует важнейшее соотношение приближе-
ния геометрической оптика, называемое уравнением эй-
конала:


                                 126