Теория волн. Иванов В.Б. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

В. Б. Иванов
14
По известной теореме косинусов из геометрии (рис. 3)
можно определить амплитуду суммарного колебания:
.cos2
21
2
2
2
1
α
AAAAA ++=
(11)
При необходимости можно рассчитать и фазу сум-
марного колебания.
Принцип суперпозиции позволяет описать важное
физическое явление – биение колебаний. Рассмотрим
сумму двух колебаний, имеющих одинаковые амплитуды,
но немного отличающихся по частоте:
),cos()(
11
tAtF
ω
=
(12)
).cos()(
22
tAtF
ω
=
(13)
Разность частот считается много меньшей каждой из
исходных частот
|ω
2
–
ω
1
|
<<
ω
2
,
ω
1
. Воспользуемся извест-
ным тригонометрическим тождеством:
).
2
cos()
2
cos(2)cos()cos(
β
α
β
α
βα
−
+
=+
(14)
Обозначив величину (
ω
2
+
ω
1
)/2 через
ω
, а (
ω
2
–
ω
1
)/2 –
через
Ω
, мы можем записать формулу для суммарного
процесса в виде:
).cos()cos(2)(
ttAtF
ω
Ω
=
(15)
Последний сомножитель здесь представляет собой вы-
сокочастотное колебание, а все остальное можно рассмат-
ривать как медленно меняющуюся амплитуду, которая
также представляет собой периодическую функцию вре-
мени, однако с существенно меньшей частотой. Графиче-
ское представление биений колебаний показано на рис. 4. 
                         В. Б. Иванов

   По известной теореме косинусов из геометрии (рис. 3)
можно определить амплитуду суммарного колебания:

                     A=     A12 + A22 + 2 A1 A2 cos α .                (11)

    При необходимости можно рассчитать и фазу сум-
марного колебания.
     Принцип суперпозиции позволяет описать важное
физическое явление – биение колебаний. Рассмотрим
сумму двух колебаний, имеющих одинаковые амплитуды,
но немного отличающихся по частоте:
                     F1 (t ) = A cos(ω1t ),                            (12)

                     F2 (t ) = A cos(ω2t ).                            (13)
    Разность частот считается много меньшей каждой из
исходных частот |ω2 – ω1| << ω2, ω1. Воспользуемся извест-
ным тригонометрическим тождеством:
                                           α+β             α −β
             cos(α ) + cos( β ) = 2 cos(          ) cos(          ).   (14)
                                              2             2
    Обозначив величину (ω2 + ω1)/2 через ω, а (ω2 – ω1)/2 –
через Ω, мы можем записать формулу для суммарного
процесса в виде:
                     F (t ) = 2 A cos(Ωt ) cos(ωt ).                   (15)
    Последний сомножитель здесь представляет собой вы-
сокочастотное колебание, а все остальное можно рассмат-
ривать как медленно меняющуюся амплитуду, которая
также представляет собой периодическую функцию вре-
мени, однако с существенно меньшей частотой. Графиче-
ское представление биений колебаний показано на рис. 4.




                               14

Страницы