Теория волн. Иванов В.Б. - 16 стр.

                      В. Б. Иванов


              1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
    В отличие от процессов – изменений физических ве-
личин только во времени, волновые явления разворачи-
ваются как во времени, так и в пространстве. В этом слу-
чае говорят о волновых полях. В общем случае поле зада-
ется функцией многих переменных, одной из которых яв-
ляется время t, а остальные представляют собой простран-
ственные координаты. В зависимости от характера рас-
сматриваемой задачи поля могут быть одномерными, за-
висящими от одной координаты, двухмерными или трех-
мерными. Обозначив через r радиус-вектор точки в про-
странстве, можно задавать поле функцией F( r , t). Анало-
гично процессам, поля могут быть скалярными, вектор-
ными или тензорными. Поскольку, работая с полями, мы
имеем дело с функциями нескольких переменных, мате-
матический аппарат волновых явлений базируется на ис-
пользовании частных производных, и вместо обыкновен-
ных дифференциальных уравнений мы будем опериро-
вать дифференциальными уравнениями в частных произ-
водных. Основным объектом этого математического аппа-
рата является волновое уравнение, к рассмотрению кото-
рого мы и переходим в данной главе. Здесь мы рассмот-
рим ряд явлений из различных областей физики, описание
которых сводится к универсальной математической форме
– волновому уравнению.

            1.1. Поперечные волны в струне
    Рассмотрим следующую модель. Имеется натянутая
струна, закрепленная на концах и ориентированная в
равновесном состоянии вдоль оси x двухмерной декарто-
вой системы координат. В начальный момент времени не-
который участок струны имеет малое поперечное (вдоль
оси y) отклонение от равновесного положения. Необходи-
                           16