Теория волн. Иванов В.Б. - 18 стр.

                         В. Б. Иванов

пропорционально длине участка, пропорционально скоро-
сти и направлено против скорости. Если коэффициент
пропорциональности равен a, то вертикальная сила тре-
ния будет записана следующим образом:
                                    ∂y
                            − a∆x      .           (1.2)
                                    ∂t
    Введем величину линейной плотности струны – массу,
отнесенную к единице длины ρ = m/∆x.
    Уравнение вертикального движения участка (второй
закон Ньютона) струны после элементарных преобразова-
ний можно записать в форме:

             ∂2 y  sin(α ' ) − sin(α )   ∂y
            ρ 2 =T                     −a .        (1.3)
             ∂t            ∆x            ∂t
    Теперь воспользуемся тем, что отклонения струны от
равновесного положения малы. При этом углы α и α’ так-
же малы, а для малых углов
                                           ∂y
                    sin(α ) ≈ tg (α ) =       ,    (1.4)
                                           ∂x
 – по определению тангенс угла наклона касательной к
кривой равен производной функции. Тогда уравнение
(1.3) можно записать в виде:

                ∂ 2 y T  ∂y       ∂y      ∂y
            ρ         =     |M ' − |M  − a .     (1.5)
                ∂t  2
                        ∆x  ∂x    ∂x      ∂t
     Разность в скобках в первом слагаемом правой части
(1.5) есть не что иное, как приращение производной ∂y/∂x
при переходе от точки М к точке М’. Переходя к пределу
∆x → 0, в этом слагаемом будем иметь вторую производ-
ную от y по x. Таким образом:


                               18