Теория волн. Иванов В.Б. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Теория волн
19
.
2
2
2
2
t
y
a
x
y
T
t
y
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
ρ
(1.6)
Введя новые обозначения
ρ
T
c =
и
ρ
β
a
=
, можно
переписать последнее уравнение следующим образом:
.
2
2
2
2
2
t
y
x
y
c
t
y
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
β
(1.7)
Следует особо обратить внимание на то, что послед-
нее слагаемое, содержащее первую производную по вре-
мени, обязано своим происхождением учету диссипации
(трения) в модели. Без учета трения (а = 0) уравнение (1.7)
примет вид:
.
2
2
2
2
2
x
y
c
t
y
∂
∂
=
∂
∂
(1.8)
Именно это уравнение и принято называть волновым
уравнением в каноническом виде. С математической точ-
ки зрения волновое уравнение является линейным диф-
ференциальным уравнением в частных производных ги-
перболического типа с постоянными коэффициентами.
Согласно введенным обозначениям величина с, квад-
рат которой входит множителем перед второй производ-
ной по координате, имеет размерность скорости. Эта ско-
рость полностью определяется свойствами среды, в кото-
рой распространяется волна – силой натяжения струны и
линейной плотностью струны.
Подведем первые итоги. Изучаемое волновое поле яв-
ляется одномерным – имеется одна пространственная ко-
ордината x, вдоль которой, как мы увидим далее, проис-
ходит распространение волны. В рассматриваемой модели
мы имеем дело с поперечными волнами – волновое поле
есть не что иное, как поперечное смещение участка стру-
                         Теория волн

                       ∂2 y     ∂2 y   ∂y
                   ρ        = T      −a .               (1.6)
                       ∂t 2
                                ∂x 2
                                       ∂t

    Введя новые обозначения c =
                                           ρ и β = ρ , можно
                                       T          a

переписать последнее уравнение следующим образом:

                   ∂2 y    2 ∂ y
                              2
                                    ∂y
                        =c        −β .                  (1.7)
                   ∂t 2
                             ∂x 2
                                    ∂t
     Следует особо обратить внимание на то, что послед-
нее слагаемое, содержащее первую производную по вре-
мени, обязано своим происхождением учету диссипации
(трения) в модели. Без учета трения (а = 0) уравнение (1.7)
примет вид:

                   ∂2 y     2 ∂ y
                               2
                        = c        .                    (1.8)
                   ∂t 2       ∂x 2
    Именно это уравнение и принято называть волновым
уравнением в каноническом виде. С математической точ-
ки зрения волновое уравнение является линейным диф-
ференциальным уравнением в частных производных ги-
перболического типа с постоянными коэффициентами.
     Согласно введенным обозначениям величина с, квад-
рат которой входит множителем перед второй производ-
ной по координате, имеет размерность скорости. Эта ско-
рость полностью определяется свойствами среды, в кото-
рой распространяется волна – силой натяжения струны и
линейной плотностью струны.
     Подведем первые итоги. Изучаемое волновое поле яв-
ляется одномерным – имеется одна пространственная ко-
ордината x, вдоль которой, как мы увидим далее, проис-
ходит распространение волны. В рассматриваемой модели
мы имеем дело с поперечными волнами – волновое поле
есть не что иное, как поперечное смещение участка стру-
                              19

Страницы