Теория волн. Иванов В.Б. - 217 стр.

                           Теория волн

 10.3. Нелинейные волны в среде с дисперсией
    Аналогично тому, как было «синтезировано» уравнение
Бюргерса, учитывающее слабую нелинейность и потери
энергии, можно сформулировать уравнение, учитывающее
нелинейность и дисперсию. Во многих физических ситуа-
циях работает закон кубической дисперсии:
                           ω
                k (ω ) =        + βω 3.             (10.36)
                           c0
    Внесение дисперсии такого вида в рассмотрение при-
водит к уравнению:
                ∂u ε ∂u    ∂ 3u
                  = 2u   +β 3,                      (10.37)
                ∂x c0 ∂τ   ∂τ
которое получило название уравнения Кортевега–Де Фри-
за. Имеется общепринятая аббревиатура – уравнение
КДФ.
    Переходя к безразмерным переменным Θ, z и V, так
же, как и в предыдущем разделе, и введя безразмерный
параметр D = βω2c02/(εu0), можно представить (10.37) сле-
дующим образом:

                ∂V    ∂V   ∂ 3V
                   =V    +D 3.                      (10.38)
                ∂z    ∂Θ   ∂Θ
    Относительная роль дисперсии и нелинейности опре-
деляется величиной D.
    Попытаемся снова найти стационарное решение, по-
ложив в (10.38) ∂V        = 0 . Тогда первое интегрирование
                     ∂z
стационарного уравнения КДФ по Θ даст обыкновенное
дифференциальное уравнение:
                    d 2V 1 2
                D         = (V0 − V 2 ).            (10.39)
                    dΘ  2
                           2
                                 217