Теория волн. Иванов В.Б. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Теория волн
39
мнимой величиной p = i
ω
. В этом случае e
i
ω
t
= cos(
ω
t) + i
sin(
ω
t), и комбинируя комплексные постоянные Т
1
и Т
2
,
можно получить любое из колебательных решений, рас-
смотренных во вводной части книги. Очевидно, что вели-
чина
ω
имеет тот же смысл, что и при рассмотрении коле-
бательных процессов – циклическая частота.
Подстановка p = i
ω
во второе из уравнений (2.4) при-
водит к соотношению, формально совпадающему с урав-
нением колебаний, в котором время t заменено координа-
той х:
.0
2
2
2
2
=+ X
c
dx
Xd
ω
(2.6)
Отношение
ω
/с = k, имеющее размерность обратной
длины, называется волновым числом. Частными реше-
ниями (2.6) будут функции
,
ikx
e
±
cos(kx), sin(kx), которые
можно комбинировать в виде сомножителей с (2.5). Стан-
дартным волновым решением (или просто волной) в одно-
мерном случае будем называть решение:
)cos(
0
ϕω
+− kxtA
(2.7)
или его комплексный аналог:
.
)( kxti
Ae
−
ω
(2.8)
Преобразованием начальной фазы
ϕ
0
можно перейти
от косинуса к синусу. Кроме того, произведения
cos(
ω
t)cos(kx), cos(
ω
t)sin(kx), sin((
ω
t)cos(kx), sin(
ω
t)sin(kx) так-
же будут удовлетворять исходному волновому уравнению.
2.2. Стоячие и бегущие волны
Рассмотрим одно из частных решений волнового уравне-
ния:
).cos()cos(),( kxttxU
ω
=
(2.9) 
                           Теория волн

мнимой величиной p = iω. В этом случае eiωt = cos(ωt) + i
sin(ωt), и комбинируя комплексные постоянные Т1 и Т2,
можно получить любое из колебательных решений, рас-
смотренных во вводной части книги. Очевидно, что вели-
чина ω имеет тот же смысл, что и при рассмотрении коле-
бательных процессов – циклическая частота.
     Подстановка p = iω во второе из уравнений (2.4) при-
водит к соотношению, формально совпадающему с урав-
нением колебаний, в котором время t заменено координа-
той х:
                       d 2 X ω2
                            + 2 X = 0.                         (2.6)
                       dx 2  c
    Отношение ω/с = k, имеющее размерность обратной
длины, называется волновым числом. Частными реше-
                              ± ikx
ниями (2.6) будут функции e , cos(kx), sin(kx), которые
можно комбинировать в виде сомножителей с (2.5). Стан-
дартным волновым решением (или просто волной) в одно-
мерном случае будем называть решение:
                  A cos(ωt − kx + ϕ 0 )             (2.7)

или его комплексный аналог:
                               Aei (ωt − kx ) .                (2.8)
    Преобразованием начальной фазы ϕ0 можно перейти
от косинуса к синусу. Кроме того, произведения
cos(ωt)cos(kx), cos(ωt)sin(kx), sin((ωt)cos(kx), sin(ωt)sin(kx) так-
же будут удовлетворять исходному волновому уравнению.

              2.2. Стоячие и бегущие волны
    Рассмотрим одно из частных решений волнового уравне-
ния:
                      U ( x, t ) = cos(ωt ) cos(kx ).          (2.9)


                                  39

Страницы