Теория волн. Иванов В.Б. - 38 стр.

                         В. Б. Иванов

    Здесь X(x) – функция только координаты, а T(t) – функ-
ция только времени.
    Подставив (2.2) в (2.1) и разделив левую и правую
части на произведение XT, мы получим:

                   1 ∂ 2T c 2 ∂ 2 X
                         =          .                (2.3)
                   T ∂T 2 X ∂X 2
     Поскольку Т и Х зависят только от своих единствен-
ных аргументов, далее более правильно использовать не
частные производные, а обыкновенные, что и будет сде-
лано.
      В левой части (2.3) может быть зависимость только от
t, а в правой – только от х. Такое возможно, только если и
левая и правая части не зависят ни от времени, ни от ко-
ординаты. Следовательно, обе части равны одной и той же
постоянной, которую мы обозначим как p2. Теперь из
уравнения (2.3) мы получаем два обыкновенных диффе-
ренциальных уравнения:

                   d 2T
                          = p 2T ,
                    dt 2
                                                     (2.4)
                      d2X
                   c2      2
                             = p2 X .
                        dx
    Будем искать решение первого из этих уравнений в
виде T(t) = Aeαt . Подстановка в соответствующее уравне-
ние приводит к так называемому характеристическому
уравнению
α2 = p2, имеющему два корня +p и –p. Тогда общее реше-
ние записывается в форме:

                   T (t ) = T1e pt + T2e − pt . ,    (2.5)
Т1 и Т2 – произвольные комплексные постоянные.
     Поскольку нас интересует волновое (периодическое во
времени) решение, необходимо считать константу p чисто
                                38