Теория волн. Иванов В.Б. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

В. Б. Иванов
60
При переходе от периодический функции к неперио-
дической, последнюю можно формально рассматривать
все же как периодическую, но с бесконечно большим пе-
риодом
T → ∞. При этом, формально, ω → 0. Интуитивно понятно,
что от дискретного ряда в суммах типа (3.10) следует пе-
рейти к интегралу:
∑
∫
∞
=
∞
→
1
0
.)sin()()sin(
i
i
dttAtiA
ωωω
(3.14)
Теперь формула прямого преобразования Фурье для не-
периодической функции будет выглядеть следующим обра-
зом:
∫ ∫
∞ ∞
+=
0 0
.)cos()()sin()()( dttBdttAtF
ωωωω
(3.15)
Обратное преобразование Фурье позволяет найти
функции A(ω) и B(ω):
∫
∫
∞
∞
=
=
0
0
.)cos()(
1
)(
,)sin()(
1
)(
dtttFB
dtttFA
ω
π
ω
ω
π
ω
(3.16)
Разложение непериодической функции в спектр при-
нято иллюстрировать примером прямоугольного импульса
единичной амплитуды, длительностью δt. Допустим, им-
пульс появился в момент времени t
1
. Тогда график про-
цесса будет иметь вид, показанный на рис. 3.2. 
                           В. Б. Иванов

     При переходе от периодический функции к неперио-
дической, последнюю можно формально рассматривать
все же как периодическую, но с бесконечно большим пе-
риодом
T → ∞. При этом, формально, ω → 0. Интуитивно понятно,
что от дискретного ряда в суммах типа (3.10) следует пе-
рейти к интегралу:
            ∞                       ∞

           ∑ Ai sin(iωt ) → ∫ A(ω ) sin(ωt )dt.
           i =1
                                                                   (3.14)
                                    0

     Теперь формула прямого преобразования Фурье для не-
периодической функции будет выглядеть следующим обра-
зом:
                  ∞                          ∞
          F (t ) = ∫ A(ω ) sin(ωt )dt + ∫ B(ω ) cos(ωt )dt.        (3.15)
                  0                          0

   Обратное преобразование                   Фурье     позволяет   найти
функции A(ω) и B(ω):
                                    ∞
                                1
                      A(ω ) =       ∫ F (t ) sin(ωt )dt,
                                π       0
                                                                   (3.16)
                                    ∞
                                1
                      B(ω ) =       ∫ F (t ) cos(ωt )dt.
                                π       0

    Разложение непериодической функции в спектр при-
нято иллюстрировать примером прямоугольного импульса
единичной амплитуды, длительностью δt. Допустим, им-
пульс появился в момент времени t1. Тогда график про-
цесса будет иметь вид, показанный на рис. 3.2.




                                        60

Страницы