Теория волн. Иванов В.Б. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИГУ | Иркутск

Составители: 

Рубрика: 

Теория волн
59
Здесь ω = 2π/T. Формула (3.10) называется прямым
преобразованием Фурье. Коэффициенты A
i
и B
i
, по сути
дела, являются функциями от своих индексов и опреде-
ляются формулами обратного преобразования Фурье:
∫
∫
+
+
=
=
Ta
a
i
Ta
a
i
dttitF
T
A
dttitF
T
B
.)sin()(
1
,)cos()(
1
ω
ω
(3.11)
Величина a может быть выбрана произвольно.
Обратное преобразование Фурье вытекает из свойств
ортогональности тригонометрических функций. Пусть,
например, функция F(t) = sin(ωt). Ее период T = 2π/ω. Вы-
берем для a значение 0. Для B
i
имеем:
∫
=
ωπ
ωω
π
ω
/2
0
.)cos()sin(
2
dttitB
i
(3.12)
Функция синуса ортогональна функции косинуса для
любых i. Таким образом, все коэффициенты В равны ну-
лю.
Для A
i
имеем:
∫
=
ωπ
ωω
π
ω
/2
0
.)sin()sin(
2
dttitA
i
(3.13)
Здесь ненулевое значение (снова в силу ортогонально-
сти) будет иметь только коэффициент A
1
= 1. Таким обра-
зом, как и должно было быть, в ряде (3.10) остается один-
единственный член – спектр сигнала состоит из единст-
венной линии. Поскольку физически спектр показывает
вклад в сигнал различных гармоник, сигнал, представ-
ляющий собой синусоиду, только ее и содержит. 
                         Теория волн

    Здесь ω = 2π/T. Формула (3.10) называется прямым
преобразованием Фурье. Коэффициенты Ai и Bi , по сути
дела, являются функциями от своих индексов и опреде-
ляются формулами обратного преобразования Фурье:
                             a +T
                         1
                  Bi =
                         T    ∫ F (t ) cos(iωt )dt,
                              a
                                                              (3.11)
                             a +T
                       1
                  Ai =
                       T      ∫ F (t ) sin(iωt )dt.
                              a

    Величина a может быть выбрана произвольно.
    Обратное преобразование Фурье вытекает из свойств
ортогональности тригонометрических функций. Пусть,
например, функция F(t) = sin(ωt). Ее период T = 2π/ω. Вы-
берем для a значение 0. Для Bi имеем:
                               2π / ω
                         ω
                  Bi =
                         2π         ∫ sin(ωt ) cos(iωt )dt.
                                    0
                                                              (3.12)


    Функция синуса ортогональна функции косинуса для
любых i. Таким образом, все коэффициенты В равны ну-
лю.
    Для Ai имеем:
                              2π / ω
                         ω
                  Ai =
                         2π       ∫ sin(ωt ) sin(iωt )dt.
                                    0
                                                              (3.13)


    Здесь ненулевое значение (снова в силу ортогонально-
сти) будет иметь только коэффициент A1 = 1. Таким обра-
зом, как и должно было быть, в ряде (3.10) остается один-
единственный член – спектр сигнала состоит из единст-
венной линии. Поскольку физически спектр показывает
вклад в сигнал различных гармоник, сигнал, представ-
ляющий собой синусоиду, только ее и содержит.

                                        59

Страницы