Теория волн. Иванов В.Б. - 63 стр.

                                Теория волн

      Обратные преобразования Фурье в данном случае да-
ют:
                           +∞
                       1         t2 
             A(ω ) =                   sin(ωt )dt.
                       π −∫∞  ∆t 2 
                            exp −                    (3.20)


   Как и в предыдущем примере, в силу нечетности
функции синуса последнее выражение равно нулю.
                           +∞
                       1    t2 
             B(ω ) = ∫ exp − 2  cos(ωt )dt.       (3.21)
                    π − ∞  ∆t 
    Интеграл в (3.31) является «табличным», и мы оконча-
тельно имеем:

                           1     ∆t 2ω 2 
             B(ω ) =        exp −       .          (3.22)
                       ∆t π         4 
    Здесь мы снова получили гауссову функцию, но уже
от частоты ω. Собственно, гауссовский импульс тем и
«знаменит», что он имеет гауссовский же спектр. Особо
необходимо обратить внимание на то, что длительность
сигнала во времени ∆t и частотная ширина спектра об-
ратно пропорциональны друг другу. Анализ спектра пря-
моугольного импульса приведет нас к такому же выводу.
Правило является универсальным вне зависимости от
формы импульса – чем короче импульс, тем шире его
спектр и наоборот.
     В данном разделе мы воспользовались разложением
функции в ряды или интегралы как по синусам, так и по
косинусам – разложения по квадратурным компонентам.
Без особого труда можно было бы провести разложение,
например, только по косинусам, внеся в аргумент триго-
нометрической функции фазу, зависящую от частоты. То-
гда в формуле:

                                    63