Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

t
Z
sin
3
x cos x dx =
Z
sin
3
x d(sin x),
sin x
Z
dx
p
x
2
− a
2
;
Z
dx
p
x
2
− a
2
=
Z
d
³
x
a
´
r
³
x
a
´
2
− 1
= ln
Ã
x
a
+
r
³
x
a
´
2
− 1
!
+ C =
= ln(x +
p
(x
2
− a
2
) + C
1
,
C
1
= C − ln a t = x/a
f(x) dx
x x = ϕ(t) t
f[ϕ(t)] ϕ
0
(t) dt = g(t) dt.
t = ω(x)
ω(x) ϕ(t)
f(x) dx
t = ω(x)
J =
Z
dx
√
x(1 +
3
√
x )
.
     Ïðè íåêîòîðîì íàâûêå â ïðîèçâîäñòâå ïîäñòàíîâêè ìîæíî ñà-
ìîé ïåðåìåííîé t è íå ïèñàòü. Íàïðèìåð, â èíòåãðàëå
               Z                        Z
                   sin3 x cos x dx =        sin3 x d(sin x),

ìûñëåííî ðàññìàòðèâàþò sin x êàê íîâóþ ïåðåìåííóþ è ñðàçó ïå-
ðåõîäÿò ê ðåçóëüòàòó.
                                     Z
                                            dx
Ï ð è ì å ð 17. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë p 2            ;
                                           x − a2
                           ³x´         Ã                !
    Z               Z    d                    r³ ´
          dx                             x        x 2
.     p          =    r ³ ´a      = ln      +         −1 +C =
         x2 − a2           x 2           a        a
                               −1
                           a
                          p
                 = ln(x + (x2 − a2 ) + C1 ,

ãäå C1 = C − ln a. Ïîäñòàíîâêà t = x/a â ýòîì ïðèìåðå ïîäðàçóìå-
âàåòñÿ.
     Èç ýòîãî ïðèìåðà ñðàçó âèäíî, ÷òî ïðàâèëî èíòåãðèðîâàíèÿ III
ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà çàìåíû
ïåðåìåííûõ. /

     Èíîãäà ïîäñòàíîâêà ïðèìåíÿåòñÿ â ôîðìå, îòëè÷íîé îò óêà-
çàííîé. Èìåííî, â ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå f (x) dx ïîäñòàâëÿ-
þò, âìåñòî x, ôóíêöèþ x = ϕ(t) îò íîâîé ïåðåìåííîé t è ïîëó÷àþò
â ðåçóëüòàòå âûðàæåíèå

                      f [ϕ(t)] ϕ0 (t) dt = g(t) dt.

      Eñëè â ýòîì âûðàæåíèè ïðîèçâåñòè ïîäñòàíîâêó t = ω(x), ãäå
ω(x)  ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ äëÿ ϕ(t), òî, î÷åâèäíî, âåðíåìñÿ ê èñõîä-
íîìó ïîäèíòåãðàëüíîìó âûðàæåíèþ f (x) dx. Ïîýòîìó èìååò ìåñòî
ðàâåíñòâî (1), â ïðàâîé ÷àñòè êîòîðîãî, ïîñëå âû÷èñëåíèÿ èíòåãðà-
ëà, íåîáõîäèìî ïîäñòàâèòü t = ω(x).
                                                    Z
                                                               dx
Ï ð è ì å ð 18. Ðàññìîòðèì èíòåãðàë J =                 √         √ .
                                                            x(1 + 3 x )


                                   11

Страницы