Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

J =
Z
sin 2nx
sin x
dx (n = 1, 2, 3, . . .).
sin 2nx =
n
X
k=1
[sin 2kx − sin(2k − 2)x] = 2 sin x
n
X
k=1
cos(2k − 1)x,
2
n
X
k=1
cos(2k − 1)x
J = 2
n
X
k=1
Z
cos(2k − 1)x dx = 2
n
X
k=1
sin(2k − 1)x
2k − 1
+ C.
Z
g(t) dt = G(t)+C
Z
g[ω(x)]ω
0
(x) dx = G[ω(x)] + C.
g(t) ω(x) ω
0
(x)
Z
f(x) dx
x
t = ω(x),
f(x) dx = g[ω(x)]ω
0
(x) dx,
g(t) f(x)
Z
g(t) dt = G(t) + C,
       çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì íåìíîãî áîëåå ñëîæíûé ïðèìåð:
                                           Z
                                               sin 2nx
Ï ð è ì å ð 14. Âû÷èñëèòü J =                          dx (n = 1, 2, 3, . . .).
                                                 sin x
       . Òàê êàê
              Xn                                    n
                                                    X
    sin 2nx =    [sin 2kx − sin(2k − 2)x] = 2 sin x   cos(2k − 1)x,
              k=1                                           k=1
                                                         n
                                                         X
òî ïîäèíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðèâîäèòñÿ ê 2                      cos(2k − 1)x è èñ-
                                                         k=1
êîìûé èíòåãðàë
              n Z
              X                                 n
                                                X sin(2k − 1)x
       J =2             cos(2k − 1)x dx = 2                         + C. /
                                                        2k − 1
              k=1                               k=1


2    ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÌÅÒÎÄÎÌ ÇÀÌÅÍÛ
     ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ
       Ìåòîä çàìåíû ïåðåìåííîé èëè ìåòîä ïîäñòàíîâêè ÿâëÿåòñÿ
îäíèì èç ñèëüíåéøèõ ïðèåìîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ôóíêöèé. Â îñíîâå
ìåòîäà ëåæèò ñëåäóþùåå ïðîñòîå   Z
      Ñâîéñòâî: åñëè èçâåñòíî, ÷òî                g(t) dt = G(t)+C , òî òîãäà
                    Z
                         g[ω(x)]ω 0 (x) dx = G[ω(x)] + C.

(ôóíêöèè g(t), ω(x), ω 0 (x) ïðåäïîëàãàþòñÿ íåïðåðûâíûìè).
                                             Z
      Ïóñòü òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàë                   f (x) dx. Âî ìíîãèõ
ñëó÷àÿõ óäàåòñÿ â êà÷åñòâå íîâîé ïåðåìåííîé âûáðàòü òàêóþ ôóíê-
öèþ îò x
                                   t = ω(x),
÷òîáû ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâèëîñü â âèäå

                          f (x) dx = g[ω(x)]ω 0 (x) dx,
ãäå g(t)  áîëåå óäîáíàÿ äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ôóíêöèÿ, ÷åì f (x).
Òîãäà, ïî ñêàçàííîìó âûøå, äîñòàòî÷íî íàéòè èíòåãðàë
                            Z
                                g(t) dt = G(t) + C,

                                       9

Страницы