Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

t = ω(x)
Z
f(x) dx =
Z
g(t) dt,
t
Z
sin
3
x cos x dx.
d sin x = cos x dx t = sin x
sin
3
x cos x dx = sin
3
x d(sin x) = t
3
dt.
Z
t
3
dt =
t
4
4
+ C.
x sin x t
Z
sin
3
x cos x dx =
sin
4
x
4
+ C.
t = ω(x)
ω
0
(x) dx
dt
J =
Z
sin
3
x dx
t = sin x
sin x dx −sin x dx
t = cos x
−sin
2
x = cos
2
x − 1,
J =
Z
sin
3
x dx =
Z
¡
t
2
− 1
¢
dt =
t
3
3
− t + C =
cos
3
x
3
− cos x + C. 
÷òîáû èç íåãî ïîäñòàíîâêîé t = ω(x) ïîëó÷èòü èñêîìûé èíòåãðàë.
Îáû÷íî ïèøóò ïðîñòî
                           Z                 Z
                                f (x) dx =       g(t) dt,                (1)

ïîäðàçóìåâàÿ, ÷òî â ôóíêöèè îò t, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëåíà èíòåãðàëîì
ñïðàâà, óæå ïðîèçâåäåíà óêàçàííàÿ çàìåíà.
                                             Z
Ï ð è ì å ð 15. Íàéäåì èíòåãðàë                  sin3 x cos x dx.
     . Òàê êàê d sin x = cos x dx, òî, ïîëàãàÿ t = sin x, ïðåîáðàçóåì
ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ê âèäó

                sin3 x cos x dx = sin3 x d(sin x) = t3 dt.

Èíòåãðàë îò ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ ëåãêî âû÷èñëÿåòñÿ:
                                Z
                                    3     t4
                                    t dt = + C.
                                          4
Âîçâðàùàÿñü ê ïåðåìåííîé x, è ïîäñòàâëÿÿ sin x âìåñòî t, ïîëó÷èì:
                      Z
                            3              sin4 x
                          sin x cos x dx =        + C. /
                                             4
     Ïðè âûáîðå ïîäñòàíîâêè t = ω(x), óïðîùàþùåé ïîäèíòåãðàëü-
íîå âûðàæåíèå, íåîáõîäèìî ïîìíèòü, ÷òî â åãî ñîñòàâå äîë-
æåí íàéòèñü ìíîæèòåëü ω 0 (x) dx, äàþùèé äèôôåðåíöèàë
íîâîé ïåðåìåííîé, dt.
                                                       Z
Ï ð è ì å ð 16. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë J =                      sin3 x dx.
     . Çäåñü ïîäñòàíîâêà t = sin x íåïðèãîäíà èìåííî ââèäó îò-
ñóòñòâèÿ óïîìÿíóòîãî ìíîæèòåëÿ. Åñëè ïîïðîáîâàòü âûäåëèòü èç
ïîäèíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ, â êà÷åñòâå äèôôåðåíöèàëà íîâîé ïå-
ðåìåííîé, ìíîæèòåëü sin x dx, èëè ëó÷øå − sin x dx, òî ýòî ïðèâåäåò
ê ïîäñòàíîâêå t = cos x; òàê êàê îñòàþùååñÿ âûðàæåíèå

                            − sin2 x = cos2 x − 1,

ýòîé ïîäñòàíîâêîé óïðîùàåòñÿ, òî ïîäñòàíîâêà îïðàâäàíà. Èìååì
     Z                Z
           3
                          ¡2    ¢    t3         cos3 x
J=       sin x dx =        t − 1 dt = − t + C =        − cos x + C. /
                                     3            3

                                        10

Страницы