Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = t
6
√
x = t
3
3
√
x = t
2
dx = 6t
5
dt
J = 6
Z
t
2
dt
1 + t
2
= 6
µ
Z
dt −
Z
dt
1 + t
2
=
= 6(t − arctg t + C ) = 6
¡
6
√
x − arctg
6
√
x
¢
+ C.
J =
Z
p
a
2
− x
2
dx
x = a sin t
x ∈ (−a, a) t ∈ (−π/2, π/2) t = arcsin x
p
a
2
− x
2
= a cos t, dx = a cos t dt.
J =
Z
p
a
2
− x
2
dx = a
2
Z
cos
2
t dt = a
2
µ
1
2
t +
1
4
sin 2t
+ C,
t = arcsin(x/a)
J =
1
2
x
p
a
2
− x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C.
a
2
sin 2t = 2a sin t · a cos t = 2x
p
a
2
− x
2
Z
g
¡
x
2
¢
x dx g(x)
t = x
2
Z
e
x
2
x dx =
1
2
Z
e
t
dt =
1
2
e
t
+ C =
1
2
e
x
2
+ C.
Z
g
¡
3
¢
x
2
dx t =
x
2
     . Åñëè ïîëîæèòü x = t6 (÷òîáû âñå êîðíè èçâëåêëèñü), òî
        √         √
ïîëó÷èì x = t3 , 3 x = t2 , dx = 6t5 dt, è
               Z 2           µZ        Z          ¶
                   t dt                      dt
       J = 6             =6      dt −               =
                  1 + t2                   1 + t2
                                     ¡√             √ ¢
          = 6(t − arctg t + C ) = 6 6 x − arctg 6 x + C. /
                                                   Z p
Ï ð è ì å ð 19. . Àíàëîãè÷íî, â èíòåãðàëå J =           a2 − x2 dx ðàç-
íîñòü êâàäðàòîâ ïîä êîðíåì, ïåðâûé èç êîòîðûõ  êîíñòàíòà, ïîä-
ñêàçûâàåò òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ïîäñòàíîâêó x = a sin t. Ïðè ýòîì
ìû ñ÷èòàåì, ÷òî x ∈ (−a, a), à t ∈ (−π/2, π/2), ïîýòîìó t = arcsin x.
Èìååì:         p
                       a2 − x2 = a cos t,           dx = a cos t dt.
Ïðè ýòîì
        Z p                          Z                       µ               ¶
                                 2          2            2       1    1
   J=           a2 − x2 dx = a           cos t dt = a              t + sin 2t + C,
                                                                 2    4
(ñì. ïðèìåð 12). Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå âûðàæåíèå t = arcsin(x/a),
ïîëó÷èì
                     1 p 2              a2         x
                   J=  x a − x2 + arcsin + C.
                     2                  2          a
                                                      p
(çäåñü ó÷òåíî, ÷òî a2 sin 2t = 2a sin t · a cos t = 2x a2 − x2 ). /

     Óìåíèå íàõîäèòü óäîáíûå ïîäñòàíîâêè ñîçäàåòñÿ óïðàæíåíè-
ÿìè. Íèæå ïðèâåäåíû îòäåëüíûå ÷àñòíûå çàìå÷àíèÿ, îáëåã÷àþùèå
èõ ïîèñê.
                                                Z
                                                     ¡ ¢
Ï ð è ì å ð 20. . Èíòåãðàëû âèäà                    g x2 x dx, ãäå g(x)  óäîáíàÿ
äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ ôóíêöèÿ, áåðóòñÿ ïîäñòàíîâêîé t = x2 . Íàïðè-
ìåð,      Z            Z
                   2         1   1        1 2
                 ex x dx =et dt = et + C = ex + C.
                             2   2        2
                           Z
                                ¡¢
Àíàëîãè÷íî, èíòåãðàëû âèäà g 3 x2 dx áåðóòñÿ ïîäñòàíîâêîé t =
x2 , è ò.ä. /



                                           12

Страницы