Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
2
−x
2
x
2
+ a
2
x
2
−a
2
x
t
sin
2
t + cos
2
t = 1, 1 + tg
2
t = sec
2
t =
1
cos
2
t
,
ch
2
t − sh
2
t = 1, 1 − th
2
t =
1
ch
2
t
.
J =
Z
dx
(x
2
+ a
2
)
2
x = a tg t, dx =
a dt
cos
2
t
, x
2
+a
2
=
a
2
cos
2
t
, t = arctg
x
a
, t ∈ (−π/2, π/2),
J =
1
a
3
Z
cos
2
t dt =
1
2a
3
(t + sin t · cos t) + C =
=
1
2a
3
arctg
x
a
+
1
2a
2
x
x
2
+ a
2
+ C.
t = arctg x sin t cos t
tg t = x/a
Z
dx
p
x
2
− a
2
x = a ch t, dx = a sh t dt,
p
x
2
− a
2
= a sh t.
Z
dx
p
x
2
− a
2
=
Z
dt = t + C.
x Arch u =
ln
³
u +
p
u
2
− 1
´
Z
dx
p
x
2
− a
2
= ln
"
x
a
+
r
³
x
a
´
2
− 1
#
+ C =
= ln
³
x +
p
x
2
− a
2
´
+ C
0
,
      Ïðè èíòåãðèðîâàíèè âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ äâó÷ëåíû âèäà
a2 − x2 , x2 + a2 , x2 − a2 îáû÷íî áûâàåò âûãîäíî çàìåíèòü x òðèãîíî-
ìåòðè÷åñêîé èëè ãèïåðáîëè÷åñêîé ôóíêöèåé îò íîâîé ïåðåìåííîé t,
èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì ñîîòíîøåíèÿ
                                                                1
            sin2 t + cos2 t = 1,       1 + tg2 t = sec2 t =          ,
                                                              cos2 t
                                        1
             ch2 t − sh2 t = 1,        1 − th2 t =
                                            .
                                      ch2 t
                                         Z
                                                 dx
Ï ð è ì å ð 25. Ðàññìîòðèì èíòåãðàë J =                2
                                                         .
                                             (x2 + a2 )
      . Ïîäñòàíîâêà
                  a dt      2    2     a2                x
x = a tg t, dx =        , x   + a  =         , t = arctg   , t ∈ (−π/2, π/2),
                 cos2 t               cos2 t             a
ïðèâîäèò èñêîìûé èíòåãðàë ê âèäó
                    Z
                 1                    1
           J = 3 cos2 t dt = 3 (t + sin t · cos t) + C =
                 a                   2a
                  1           x    1      x
              =      arctg      +                + C.
                 2a3          a 2a2 x2 + a2
(ïðè ïîäñòàíîâêå t = arctg x íåîáõîäèìî âûðàçèòü sin t è cos t ÷åðåç
tg t = x/a  ñì. ïðèëîæåíèå A). /
Ï ð è ì å ð 26. Z
                .
                               dx
       èíòåãðàëå         p           óäîáíåå ïðèìåíèòü ãèïåðáîëè÷åñêóþ
                           x2 − a2
ïîäñòàíîâêó:
                                                p
            x = a ch t,       dx = a sh t dt,    x2 − a2 = a sh t.
Òîãäà                 Z                    Z
                                dx
                          p    = dt = t + C.
                      x2 − a2
  ³ Ïðè
      p
         ïåðåõîäå
             ´      ê ïåðåìåííîé x ó÷òåì, ÷òî Arch u                       =
ln u + u2 − 1 (ñì. ïðèëîæåíèå A), òàê ÷òî
        Z                   "     r³ ´       #
              dx              x      x 2
           p          = ln      +        −1 +C =
             x2 − a 2         a      a
                            ³     p        ´
                      = ln x + x − a + C 0 ,
                                    2    2


                                        14

Страницы