Неопределенные интегралы. Желтухин В.С. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C
0
−ln a
J =
Z
dx
p
x
2
+ α
, (α 6= 0)
p
x
2
+ α = t −x t
x
2
+α = t
2
−2tx+
x
2
x =
t
2
− α
2t
, dx =
t
2
+ α
2t
2
dt,
p
x
2
+ α =
t
2
+ α
2t
.
J =
Z
dt
t
= ln t + C = ln
³
x +
p
x
2
+ α
´
+ C,
Z
dx
p
(x − α)(β − x)
, (α < x < β)
x = α cos
2
ϕ + β sin
2
ϕ (0 < ϕ < π/2) ϕ
x − α = (β − α) sin
2
ϕ, β − x = (β − α) cos
2
ϕ,
dx = 2(β − α) sin ϕ cos ϕ dϕ, ϕ = arctg
r
x − α
β − x
.
J =
Z
dx
p
(x − α)(β − x)
= 2
Z
dϕ = 2ϕ+C = 2 arctg
r
x − α
β − x
+C.
u = f(x) v = g(x)
u
0
= f
0
(x) v
0
= g
0
(x)
d(uv) = u dv + v du
ïðè÷åì â ïîñòîÿííóþ C 0 âêëþ÷åíî ñëàãàåìîå − ln a. /

     Ðàññìîòðèì åùå äâà ïðèìåðà, ãäå ïîäñòàíîâêà íå ñòîëü åñòå-
ñòâåííà, êàê â ïðåäûäóùèõ, íî çàòî áûñòðî âåäåò ê öåëè.
                                         Z
                                                 dx
Ï ð è ì å ð 27. Âû÷èñëèòü J =           2+α
                                            , (α 6= 0).
                                             p
                p                     x
       . Ïîëîæèì x2 + α = t − x è ïðèìåì t çà íîâóþ ïåðåìåííóþ.
Âîçâîäÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â êâàäðàò, ïîëó÷èì: x2 + α = t2 − 2tx +
x2 , îòêóäà
            t2 − α          t2 + α     p        t2 + α
         x=        , dx =          dt,  x 2+α =        .
               2t             2t2                  2t
     Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ðàâåíñòâà â ïîäèíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå, ïî-
ëó÷àåì
                Z                    ³   p      ´
                  dt                       2
        J =          = ln t + C = ln x + x + α + C,
                   t
(ñðàâíèòå ñ ïðåäûäóùèì ïðèìåðîì). /
                                   Z
                                                 dx
Ï ð è ì å ð 28. Âû÷èñëèòü               p        , (α < x < β).
                                  (x − α)(β − x)
     Ïîëîæèì x = α cos2 ϕ + β sin2 ϕ, (0 < ϕ < π/2), ãäå ϕ  íîâàÿ
ïåðåìåííàÿ; òîãäà

              x − α = (β − α) sin2 ϕ,         β − x = (β − α) cos2 ϕ,
                                                        r
                                                          x−α
     dx = 2(β − α) sin ϕ cos ϕ dϕ,            ϕ = arctg         .
                                                          β−x
Òàêèì îáðàçîì,
     Z                             Z                           r
                 dx                                                x−α
J=       p                    =2       dϕ = 2ϕ + C = 2 arctg           + C. /
             (x − α)(β − x)                                        β−x


3    ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÅ ÏÎ ×ÀÑÒßÌ

      Ïóñòü u = f (x) è v = g(x)  ôóíêöèè, èìåþùèå íåïðå-
ðûâíûå ïðîèçâîäíûå u0 = f 0 (x) è v 0 = g 0 (x). Òîãäà, ïî ïðàâè-
ëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ, d(uv) = u dv + v du, èëè

                                        15

Страницы